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Soluzioni del capitolo 5


ESERCIZIO 5.3  

eqnarray29009


ESERCIZIO 5.4  

eqnarray29027


ESERCIZIO 5.5   Rispetto alle coordinate indicate in figura, risulta

displaymath52110

le energie cinetica e potenziale sono date da

displaymath52111

e dalla lagrangiana tex2html_wrap_inline52156 si ottiene, per

displaymath52112

la hamiltoniana H=T+V

displaymath52113

Intorno al punto di equilibrio stabile tex2html_wrap_inline52160 , H ha la forma

displaymath52114

displaymath52115

displaymath52116

approssimando le piccole oscillazioni intorno a tex2html_wrap_inline47836 con quelle del sistema (lineare) con hamiltoniana tex2html_wrap_inline52166 , si ottengono ellissi (le curve di livello tex2html_wrap_inline52168 ) del tipo

displaymath52117

displaymath52118

Nell'approssimazione scompare la dipendenza del periodo dall'energia:

displaymath52119


ESERCIZIO 5.6   Nel caso di profilo parabolico, si ha

displaymath52120

il periodo delle oscillazioni di energia E intorno al vertice della parabola risulta

displaymath52121

Nel secondo caso, il periodo risulta

displaymath52122


ESERCIZIO 5.7  La coordinata z ha senso solo per z>-R. Poiché

displaymath52176

le curve di livello sono limitate per E<0, illimitate per tex2html_wrap_inline52180 . Nel primo caso l'orbita ricade sulla superficie z=R dopo un tempo finito, nel secondo va all'infinito. La funzione energia è

displaymath52184

quindi la velocità iniziale critica che separa i due casi è

displaymath52186


ESERCIZIO 5.8  

displaymath52188

L'equazione di Lagrange è

displaymath52190

con secondo membro costante, quindi le soluzioni sono funzioni quadratiche del tempo.


ESERCIZIO 5.9  Se r è la distanza della particella da un dato estremo, l'energia potenziale V dipende solamente da r e l'energia cinetica solamente da tex2html_wrap_inline38516 :

displaymath52123

Dunque tex2html_wrap_inline52200 e, per tex2html_wrap_inline40592 ,

displaymath52124

Il periodo dipende da tex2html_wrap_inline38808 tramite un integrale ellittico:

displaymath52125


ESERCIZIO 5.10   Con l'asse verticale orientato verso l'alto, posto tex2html_wrap_inline52206 , la forza agente sul cubo è

displaymath52126

la lagrangiana e l'hamiltoniana sono

displaymath52127

displaymath52128

Il punto di equilibrio si trova in corrispondenza di

displaymath52129

(la sua posizione rispetto al pelo del liquido dipende dal rapporto tex2html_wrap_inline38808 fra la sua densità e quella del solido). La traiettoria passante per tex2html_wrap_inline52210 ha energia tex2html_wrap_inline52212 ; l'altra sua intersezione con l'asse x è la condizione iniziale richiesta:

displaymath52130


ESERCIZIO 5.11   Il modello è valido finché tex2html_wrap_inline52216 (non si consente alla molla di superare il ciglio dello strapiombo). L'energia potenziale è data da

displaymath52131

Nelle ipotesi date, il potenziale ha un minimo ed un massimo relativo (ed il sistema un centro ed una sella, per tex2html_wrap_inline52218 ) rispettivamente in

displaymath52132


ESERCIZIO 5.14  

displaymath52220


ESERCIZIO 5.16  Usare l'integrale...Percival pag.219-220
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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997