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2.2 CONVERGENZA

Sommario Elenchiamo le proprietà più utili dell'esponenziale di matrici, a partire dalla sua convergenza. Le dimostrazioni di questi teoremi seguono dalla teoria della convergenza uniforme delle serie di funzioni, utilizzando la diseguaglianza di Cauchy. Le proprietà della funzione esponenziale sono conservate dall'esponenziale di matrici purché non dipendano dalla proprietà commutativa della moltiplicazione: in particolare l'esponenziale della somma è uguale al prodotto delle esponenziali solo se il prodotto commuta.

Convergenza dell'esponenziale

La convergenza dell'esponenziale di matrice può essere dimostrata come conseguenza della convergenza in norma della serie.

Sia $A$ una qualsiasi matrice quadrata $n\times n$. Allora la serie esponenziale:

\begin{displaymath}
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^jt^j}{j!}\end{displaymath}

Dimostrazione: Consideriamo la serie delle norme:

\begin{displaymath}
\sum_{j=0}^{\infty}\left\vert\left\vert\frac{A^jt^j}{j!}\right\vert\right\vert .
\end{displaymath}

Usando la diseguaglianza che segue dalle proprietà della norma uniforme:

\begin{displaymath}
\vert\vert c(At)^j\vert\vert\leq \vert c\vert\,\vert\vert A\vert\vert^j\; \vert t\vert^j
\end{displaymath}

si ottiene una serie numerica che maggiora termine a termine la serie delle norme:

\begin{displaymath}
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\vert\vert A\vert\vert^j\; \vert t\vert^j}{j!}= e^{\vert\vert A\vert\vert\, \vert t\vert}\end{displaymath}

 C.D.D.


Questo teorema basta a dimostrare l'esistenza del flusso integrale di un qualsiasi sistema dinamico continuo lineare $\dot X = A\, X$, che è la somma della serie convergente $\exp(At)\,
X(0)$. Però calcolare esplicitamente tale soluzione non è immediato. Il procedimento di calcolo sarà spiegato nelle Sezioni 2.3, 2.4, 2.5.

Serie prodotto

Consideriamo due serie di matrici convergenti, della forma:

\begin{displaymath}
A(t)=\sum_{k=0}^\infty A_k\, t^k\hspace{5mm},\hspace{5mm}B(t)=\sum_{k=0}^\infty B_k\, t^k .
\end{displaymath}

Vogliamo sapere sotto quali condizioni si potrà ricavare dalle due serie con somme $A(t)$ e $B(t)$ una serie con per somma il prodotto di matrici $A(t)\, B(t)$.

La dipendenza dalla variabile $t$ non è veramente essenziale in questo ragionamento, che può essere svolto sostituendo $t=1$; ma come vedremo questa semplificazione renderebbe meno comprensibile il procedimento.


Definizione:


Le condizioni di convergenza della serie, ad una funzione continua $C(t)$, sono descritte dal teorema del prodotto secondo Cauchy. Per l'applicazione che ci interessa, basta sapere che se le due serie per $A(t)\, B(t)$ convergono in norma per ogni $t\in {\bf R}$, allora la serie prodotto converge in norma, quindi anche converge per ogni $t\in {\bf R}$, e la sua somma $C(t)=A(t)\, B(t)$.

Se due matrici quadrate $n\times n$, $A$ e $B$, commutano tra loro, cioè $A\,B=B\,A$, allora l'esponenziale della somma è il prodotto delle esponenziali:

\begin{displaymath}
\exp(A\,t + B\, t)= \exp(A\,t)\;\exp(B\,t) .\end{displaymath}

Dimostrazione:

 C.D.D.


La funzione a valori matriciali $\exp(A\,t)$ è derivabile, e la sua derivata è:

\begin{displaymath}
\frac{d{}}{d{t}} \exp(A\,t)=A\, \exp(A\,t)=\exp(A\, t)\,A
\end{displaymath}


Dimostrazione:
 C.D.D.


Andrea Milani 2009-06-01