3.2 POZZI E SORGENTI

Sommario La stabilità o instabilità di un punto di equilibrio può essere determinata esaminando la sola parte lineare del campo vettoriale, purché questa non abbia autovalori con parte reale zero. Infatti la parte lineare dell'equazione differenziale determina il carattere esponenziale del flusso integrale, e questo determina il comportamento qualitativo se l'esponente è diverso da zero.

Esponenti di Lyapounov

Definizione:

Dato il sistema dinamico con punto di equilibrio $X_S$:

$$\dot X = F(X)= A\, (X-X_S)+ G(X)$$


dove $A$ è la matrice jacobiana della funzione $F$ calcolata in $X_S$ (poiché $F$ è differenziabile $G$ è infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto ad $X-X_S$), il sistema dinamico lineare


$$\dot Y = A\, Y\hspace{5mm},\hspace{5mm}Y=X-X_S$$


si chiama il sistema linearizzato di $\dot X = F(X)$ in $X_S$. Le parti reali degli autovalori di $A$ sono gli esponenti di Lyapounov.

Se tutti gli esponenti di Lyapounov sono negativi il punto di equilibrio $X_S$ si dice un pozzo; se tutti gli esponenti di Lyapounov sono positivi, il punto di equilibrio $X_S$ si dice una sorgente.

Caso lineare

Nel caso di un sistema dinamico continuo lineare, la stabilità delle soluzioni può essere dedotta dalla loro espressione in termini di funzioni elementari. Da questo si ricavano direttamente informazioni sull'andamento delle soluzioni per $t\to\infty$.

Data la matrice $A$ a coefficienti reali di tipo $n\times n$, le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)

l'origine è un pozzo per il sistema dinamico lineare $\dot Y=A\,Y$ (cioè tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa).

(b)

Esistono costanti $k$ e $b$ positive tali che

$$\vert\exp(tA)\,Y_0\vert\leq k\, e^{-t\,b}\,\vert Y_0\vert$$

per ogni condizione iniziale $Y_0$ e per ogni $t$ positivo.

Dimostrazione:

Segue dal teorema delle soluzioni del sistema dinamico lineare. Le orbite sono tutte ottenibili come combinazioni lineari di funzioni del tipo: $e^{\chi\,t}\, Q(t)$ dove $\chi$ è un esponente di Lyapounov (cioè la parte reale di un autovalore $\lambda$ di $A$), e $Q(t)$ è una funzione che per $t\to +\infty$ cresce più lentamente di ogni esponenziale.

(a) $\Longrightarrow$ (b) Se $b$ è una costante positiva tale che ogni esponente di Lyapounov $\chi<-b$, allora ogni componente della soluzione tende a zero più rapidamente di $e^{-b\,t}$, da cui segue (b).

(b) $\Longrightarrow$ (a) Per assurdo: se esiste un esponente di Lyapounov $\chi\geq 0$, allora la funzione $e^{\chi\,t}\, Q(t)$ non tende a zero per $t\to +\infty$, e qualche componente di qualche soluzione non tende a zero, in contraddizione con (b).

 C.D.D.

Segue dal teorema che l'origine è asintoticamente stabile se è un pozzo per il sistema lineare. Invece, se esiste anche un solo esponente di Lyapounov positivo l'origine è instabile. Il caso in cui gli esponenti di Lyapounov siano solamente $\leq 0$ (ma non tutti $<0$) non può essere deciso dal punto di vista della stabilità sulla base dei soli esponenti di Lyapounov: si possono trovare degli esempi sia stabili che instabili, come nel caso di risonanza .

Esempio:

Consideriamo un pendolo lineare con dissipazione la cui posizione è definita dall'angolo $\theta$ tra il pendolo e la verticale. Il pendolo ha lunghezza $\ell$ e la gravità esercita un'accelerazione costante $g$ sulla massa sospesa, allora l'accelerazione di richiamo è $-g\,\sin\theta$; linearizzando si rimpiazza $\sin\theta$ con $\theta$. Se c'è anche un termine di dissipazione proporzionale alla velocità (con coefficiente $\gamma>0$) l'equazione del pendolo è un oscillatore lineare:

$$\ell\, \frac{d^2{\theta}}{d{t}^2} + \gamma\,\ell\,\frac{d{\theta}}{d{t}} + g \; \theta =0 \ .$$


Introducendo una variabile velocità angolare $\omega$ si ottiene il sistema dinamico

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot \theta} & {... ...yle -\frac g\ell\,\theta -\gamma\,\omega} \end{array}\right.$$


che è lineare, con con matrice e polinomio caratteristico:

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {-g/\ell}&{-\gamma}\en... ...et\,[A-\lambda\,I]= \lambda^2 + \gamma\,\lambda + \frac g\ell$$



L'origine è un punto di equilibrio del tipo fuoco se

$$\Delta=\gamma^2- \frac{4g}\ell <0$$


o nodo se $\Delta>0$ (nodo improprio se $\Delta=0$), ma in ogni caso le parti reali degli autovalori sono negative e quindi l'origine è un pozzo lineare.

Un teorema del tutto analogo riguarda le sorgenti:

Data la matrice $A$ a coefficienti reali di tipo $n\times n$, le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)

l'origine è una sorgente per il sistema dinamico lineare $\dot Y=A\,Y$ (cioè tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale positiva).

(b)

Esistono costanti $k$ e $b$ positive tali che

$$\vert\exp(tA)\,Y_0\vert\geq k e^{t\,b}\,\vert Y_0\vert$$

per ogni condizione iniziale $Y_0$ e per ogni $t$ positivo.

Dimostrazione:

Se si studia il comportamento per $t$ negativo ed i limiti per $t\to -\infty$ si scambia il comportamento di un pozzo con quello di una sorgente. Infatti se si scambia $t$ con $-t$, il sistema dinamico $\dot Y=A\,Y$ diventa $\dot Y=-A\,Y$ e gli autovalori di $-A$ sono gli opposti degli autovalori di $A$.

 C.D.D.

Per estendere la teoria dei pozzi (o sorgenti) al caso nonlineare abbiamo bisogno di una diseguaglianza che deriva dalla teoria della forma canonica di Jordan:

Sia $A$ una matrice a coefficienti reali di tipo $n\times n$, e siano $\alpha, \beta$ due numeri reali tali che per ogni autovalore $\lambda$ di $A$

$$\alpha<Re(\lambda)<\beta \ .$$

Allora esiste una base $V=\{V_1,\ldots, V_n\}$ di ${\bf R}^n$ tale che, se

$$Y=\sum_{i=1}^n\,y_i\,V_i\hspace{5mm},\hspace{5mm}X=\sum_{i=1}^n\,x_i\,V_i$$

sono due vettori espressi mediante le coordinate in questa base, ed il prodotto scalare definito da queste coordinate è

$$(X,Y)_V= \sum_{i=1}^n\,x_i\,y_i \ ,$$

allora vale la diseguaglianza

$$\alpha (Y,Y)_V \leq (A\,Y,Y)_V \leq \beta (Y,Y)_V \ .$$

Il prodotto scalare associato alla base $V$ definisce una norma $\vert\vert Y\vert\vert^2_V=(Y,Y)_V$ `adattata' alla matrice $A$ ed ai suoi autospazi, e quindi si può riscrivere la diseguaglianza come:

$$\alpha \vert\vert Y\vert\vert^2_V \leq (A\,Y,Y)_V \leq \beta \vert\vert Y\vert\vert^2_V$$

Dimostrazione:

Per il teorema di Jordan esiste una base $W$ tale che l'applicazione lineare associata ad $A$ viene espressa da una matrice $D$ in forma canonica di Jordan reale.

Nel caso in cui $A$ è una matrice semisemplice, la matrice $D$ ha sulla diagonale gli autovalori reali di $A$ (ciascuno ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica), e con le coppie di autovalori coniugati rappresentati da un blocco $2\times 2$ (ripetuto per gli autovalori multipli). La base consiste negli autovettori $F_i$ con autovalori reali $\lambda_i$, e nelle coppie $G_i,H_i$ associate alle coppie di autovalori $b_i \pm Jc_i$ ($G_i,H_i$ sono la parte reale e la parte complessa di un autovettore). Allora


$$(A\,F_i,F_i)_W= \lambda_i \hspace{5mm},\hspace{5mm}(A\,G_i,G_i)_W=(A\,H_i,H_i)_W=b_i$$


e perciò

$$(A\,Y,Y)_W=\sum\, \lambda_i\, y_i^2 + \sum\, b_i\, y_i^2$$


dove la prima somma è estesa agli autovalori reali e la seconda a quelli complessi (contati con la loro molteplicità). Quindi per tutti gli $n$ autovalori $\lambda_i$ reali o complessi


$$(A\,Y,Y)_W= \sum_{i=1}^n\, Re(\lambda_i)\, y_i^2\; ,$$


da cui seguono immediatamente le diseguaglianze.

Se la matrice $A$ non è semisemplice, la matrice $D$ è diagonale a blocchi con blocchi di Jordan della forma $S_i+N_i$, dove $S_i$ ha un solo autovalore reale $\lambda_i$ oppure una sola coppia di autovalori complessi $b_i \pm Jc_i$, ed $N_i$ è in forma canonica dei nilpotenti. Supponiamo che l'autovalore di un certo blocco $S_i+N_i$ sia reale, e siano $W_s,\ldots, W_{s+u}$ i vettori della base relativi ad un tale blocco. Il fatto che immediatamente sotto la diagonale principale ci siano dei coefficienti 1 si traduce in:


$$N_i\, W_{s+j} = W_{s+j+1}\ ,\ j=1,\ldots, u-1 \hspace{5mm},\hspace{5mm}N_i\, W_{s+u}=\underline 0$$


Per ottenere una nuova base in cui valgano le diseguaglianze della tesi occorre riscalare ciascuna base $W_s,\ldots, W_{s+u}$ come segue:

$$V_{s+j}=\frac 1{\epsilon^{j-1}}\,W_{s+j}$$


con $\epsilon$ positivo abbastanza piccolo; allora

$$N_i\, V_{s+j} = \epsilon\,V_{s+j+1}, j=1,\ldots, u-1 \hspace{5mm},\hspace{5mm}N_i\, V_{s+u}=\underline 0$$


In un blocco corrispondente ad una coppia di autovalori complessi coniugati la forma canonica di Jordan reale ha dei coefficienti 1 nella seconda diagonale sotto quella principale; riscalando alcuni vettori della base si ottiene di trasformare questi coefficienti in $\epsilon$. In ogni caso per $\epsilon\to 0$ il prodotto $(A\,Y,Y)_V$ tende alla stessa espressione del caso semisemplice, cioè:

$$\lim_{\epsilon\to 0} \, (A\,Y,Y)_V = \sum_{i=1}^n\, Re(\lambda_i)\, y_i^2\; ,$$


quindi per $\epsilon$ abbastanza piccolo le diseguaglianze della tesi sono verificate.

 C.D.D.

Caso nonlineare

Nel caso nonlineare non si sanno, in generale, esprimere le soluzioni nell'intorno di un punto di equilibrio in forma analitica; in alcuni casi però si possono dedurre le proprietà di stabilità dallo studio del sistema linearizzato.

Sia $X_S$ un pozzo per il sistema dinamico $\dot X = F(X)$, definito e $C^1$ su $W\subset{\bf R}^n$, e sia $A$ la matrice del sistema linearizzato in $X_S$. Se $c$ è un numero reale positivo tale che ogni autovalore $\lambda$ di $A$ ha parte reale $Re(\lambda)<-c$, esiste un intorno $U$ di $X_S$, ($U\subset W$) tale che:

(a)

il flusso integrale $\Phi^t(X)$ è definito per ogni $X$ in $U$ e per ogni $t>0$;

(b)

esiste una costante $B>0$ tale che, per ogni $X$ in $U$ e per ogni $t\geq 0$:

$$\vert\Phi^t(X)-X_S\vert\leq B\, e^{-c\,t}\; \vert X-X_S\vert\;.$$

La tesi implica che $\Phi^t(X)$ tende ad $X_S$ per $t\to +\infty$ per ogni condizione iniziale $X$ in $U$, in particolare $X_S$ è asintoticamente stabile.

Dimostrazione:

Cambiamo coordinate per traslazione in modo che $X_S=\underline 0$. Sia $b$ un numero reale positivo tale che $Re(\lambda)<-b<-c$; per il teorema della norma adattata esiste una base $V$, un prodotto scalare ed una norma associata a questa base, tali che

$$(A\,X,X)_V\leq -b\; \vert\vert X\vert\vert^2_V\ .$$


Poiché la matrice jacobiana di $F$ in $X_S=\underline 0$ è $A$:

$$\lim_{X\to\underline 0}\,\frac{\vert\vert F(X)-A\,X\vert\vert _V}{\vert\vert X\vert\vert _V}=0$$



La formula precedente è la definizione di differenziabilità se la norma è la norma euclidea; ma per il teorema di equivalenza delle norme i limiti sono gli stessi.

Per la diseguaglianza di Cauchy


$$(F(X)-A\,X, X)_V\leq \vert\vert F(X)-A\,X\vert\vert _V\; \vert\vert X\vert\vert _V$$


e dividendo per $\vert\vert X\vert\vert _V^2$


$$\lim_{X\to \underline 0}\, \frac {(F(X)-A\,X,X)_V}{\vert\vert X\vert\vert _V^2}=0$$


e quindi in un intorno $U$ abbastanza piccolo:

$$(F(X),X)_V= (F(X)-A\,X,X)_V+(A\,X,X)_V\leq (\epsilon-b)\,\vert\vert X\vert\vert^2_V$$


dove $\epsilon$ è arbitrariamente piccolo; quindi, definitivamente per $X\to \underline 0$

$$(F(X),X)_V\leq-c\;\vert\vert X\vert\vert^2_V \ .$$


Consideriamo una soluzione $X(t)$, con condizione iniziale $X(0)$ in $U$. Poiché $U$ è aperto, ci sarà un tempo $t_1>0$ tale che per $0\leq t\leq t_1$ la soluzione $X(t)$ è definita e resta in $U$. Per tale intervallo di tempo la derivata della norma

$$\frac{d{}}{d{t}} \vert\vert X(t)\vert\vert _V = \frac{d{}}{... ...{\vert\vert X\vert\vert _V}\leq -c\;\vert\vert X\vert\vert _V$$


da cui la norma come funzione del tempo $n(t)=\vert\vert X(t)\vert\vert _V\geq 0$ soddisfa a

$$\frac{d{n(t)}}{d{t}}\leq -c\,n(t) \Longrightarrow \log n(t) \leq -c\,t +cost \Longrightarrow n(t)\leq n(0)\, e^{-c\,t}\ .$$


Cambiando norma, dalla norma associata alla base $V$ a quella euclidea (associata alla base canonica di ${\bf R}^n$), per il teorema dell'equivalenza delle norme, questa diseguaglianza cambia solo per l'aggiunta di una costante $B$ come nella tesi (b).

Per dimostrare (a) si ricorre al teorema di continuazione delle soluzioni: scegliendo nella dimostrazione di (b) $U=\{X\in W \vert\; \vert\vert X-X_S\vert\vert _V<\delta\}$, per ogni $X\in U$ esiste una soluzione per $0\leq t<t_1$, che per la disequazione $n(t)\leq n(0)\;e^{-ct}$ avrà $\vert\vert X-X_S\vert\vert _V<\delta-\eta$. Considerato il compatto $K=\{X\in W \vert\; \vert\vert X-X_S\vert\vert _V\leq\delta-\eta\}$, la soluzione può esssere continuata, ma non può lasciare $K$, quindi deve essere definita per ogni $t\geq 0$.

 C.D.D.

Ne segue che gli esponenti di Lyapounov determinano l'andamento delle soluzioni per $t\to +\infty$ non solo nel caso lineare. Per un pozzo nonlineare, le soluzioni non sono direttamente esprimibili mediante funzioni esponenziali ed altre funzioni analitiche elementari, ma hanno l'andamento asintotico delle esponenziali.

Esempio:

Un pendolo nonlineare con dissipazione differisce dal caso lineare perché l'accelerazione di richiamo $-g\,\sin\theta$ non è linearizzata:

$$\ell\, \frac{d^2{\theta}}{d{t}^2} + \gamma\,\ell\,\frac{d{\theta}}{d{t}} + g \; \sin\theta =0 \ .$$


Introducendo una variabile velocità angolare $\omega$ si ottiene il sistema dinamico nonlineare:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot \theta} & {... ... g{\ell}\,\sin\theta -\gamma\,\omega} \end{array}\right. \ .$$


I punti di equilibrio sono dati da $\omega =0, \theta =k\,\pi$ per ogni $k$ intero. In questi punti la matrice jacobiana è:

$$A_k=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {(-1)^{k+1}g/\ell}&{-\gamma}\end{array}\right]$$


con equazione caratteristica $\lambda^2 +\gamma\,\lambda +(-1)^k\,g/\ell=0 \ .$ Quindi nei punti di equilibrio $\theta=k\pi$ con $k$ pari, cioè i punti di equilibrio con il pendolo verso il basso, il sistema linearizzato coincide con il pendolo lineare con dissipazione, e quindi l'equilibrio è asintoticamente stabile. Invece, in un punto di equilibrio con $k$ dispari il sistema linearizzato ha due autovalori reali di segno opposto, cioè è di tipo sella; come vedremo nella Sezione 3.6, ne segue che questo punto di equilibrio è instabile.

Per poter descrivere il comportamento globale delle orbite di questo sistema dinamico, per esempio mediante un disegno, occorrono informazioni sul comportamento delle soluzioni lontane dai punti di equilibrio. Questo sarà possibile utilizzando il metodo della funzione di Lyapounov.

Esercizio Consideriamo l'equazione di Van der Pol:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\disp... ...y} & {\displaystyle=} &{\displaystyle -x} \end{array}\right.$$

Provare che l'origine è asintoticamente stabile.

(Soluzione)

Un teorema del tutto analogo riguarda il caso della sorgente, cioè quello in cui gli esponenti di Lyapounov sono tutti positivi:

Sia $X_S$ una sorgente per il sistema dinamico $\dot X = F(X)$, definito e $C^1$ su $W\subset{\bf R}^n$, e sia $A$ la matrice del sistema linearizzato in $X_S$. Se $c$ è un numero reale positivo tale che ogni autovalore $\lambda$ di $A$ ha parte reale $Re(\lambda)>c$, esiste un intorno $U$ di $X_S$, ($U\subset W$) tale che:

(a)

il flusso integrale $\Phi^t(X)$ è definito per ogni $X$ in $U$ e per ogni $t\leq 0$.

(b)

esiste una costante $B>0$ tale che, per ogni $X$ in $U$ e per ogni $t<0$:

$$\vert\Phi^t(X)-X_S\vert\leq B\, e^{c\,t}\; \vert X-X_S\vert$$

Dimostrazione:

Scambiare $t$ con $-t$, quindi $F(X)$ con $-F(X)$, $A$ con $-A$, per ricondursi al caso del pozzo nonlineare.

 C.D.D.

Esercizio Individuare eventuali pozzi e sorgenti del sistema

$$\frac{d\,}{dt} \left[\begin{array}{c}{x}\\ {y}\end{array}\... ...begin{array}{c}{x^2+xy-x}\\ {-xy+y^2-y}\end{array}\right]\;.$$

(Soluzione)