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3.3 FUNZIONI DI LYAPOUNOV

Sommario La stabilità di un punto di equilibrio può essere determinata mediante le proprietà di una funzione di Lyapounov, che generalizza le proprietà della distanza nell'intorno di un pozzo e dell'energia in un sistema dissipativo.

Derivata totale

Consideriamo un sistema dinamico continuo $\dot X = F(X)$ con il campo vettoriale $F$ definito e $C^1$ su di un aperto $W\subset{\bf R}^n$.


Definizione:


Il metodo della funzione di Lyapounov


Definizione:

Una funzione $V$ definita e di classe $C^1$ in un intorno $U$ (si intende che $U\subset W$) di un punto di equilibrio $S$ si dice funzione di Lyapounov per l'equilibrio $S$ se valgono le due condizioni:

La funzione di Lyapounov ha un minimo forte in corrispondenza del punto di equilibrio (per convenienza si fissa il valore del minimo a zero), e derivata totale mai positiva al di fuori del minimo, quindi il valore della funzione non cresce lungo le soluzioni.

Se vale la proprietà (b) e anche

(c)
$\dot V(X) < 0$ per ogni $X$ in $U$ escluso $S$
allora $V$ si dice funzione di Lyapounov stretta Una funzione di Lyapounov stretta è strettamente decrescente su ogni soluzione del sistema dinamico.


Esempio:


Se il punto di equilibrio $S$ possiede, in un intorno $U$, una funzione di Lyapounov $V(X)$, allora è stabile.

Dimostrazione:

 C.D.D.


Esempio:


Esercizio Studiare la stabilità dell'origine per il sistema

\begin{displaymath}
\frac d{d\,t}{\left[\begin{array}{c}{x}\\
{y}\end{array}\r...
...}=\left[\begin{array}{c}{-y-x^3}\\
{x}\end{array}\right] \;.
\end{displaymath}

(Soluzione)

Funzione di Lyapounov decrescente

Se una funzione con la proprietà (a) della funzione di Lyapounov è definita globalmente, cioè su tutto $W$, è possibile ottenere informazioni sui bacini di attrazione dei vari punti di equilibrio. A questo scopo occorre introdurre la nozione di insieme invariante per il flusso.


Definizione:


Sia $S$ un punto di equilibrio per un sistema dinamico continuo definito sull'aperto $W,$ e sia $V(X)$ una funzione di Lyapounov per $S$, definita su tutto $W.$ Se $P$ è un intorno di $S$ contenuto in $W,$ compatto e positivamente invariante, tale che su ogni semiorbita contenuta in $P$ la funzione $V$ sia strettamente decrescente (salvo che su $S$), allora $S$ è asintoticamente stabile e $P$ è contenuto nel bacino di $S$.

La condizione che $V$ sia decrescente è certamente soddisfatta se $V$ è una funzione di Lyapounov stretta. Però l'ipotesi usata in questo teorema è assi più generale: vedremo nel caso del sistema dissipativo a un grado di libertà che questa generalizzazione è utile. Esiste una versione ancora più generale del teorema, in cui si usa soltanto l'ipotesi che la funzione di Lyapounov non sia costante su alcuna traiettoria, salvo che su $S$; si veda [Hirsch-Smale 74], Capitolo 9.

Dimostrazione:

 C.D.D.


Esercizio Riprendiamo l'equazione di Lienard:

\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{lcl}
{\displaystyle \dot x} & {\disp...
...y} & {\displaystyle=} &{\displaystyle -x}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

con $f(x)$ dispari e positiva per $x>0$. Si dimostri che l'origine è asintoticamente stabile, e ha per bacino tutto ${\bf R}^2$. (Soluzione)

Il teorema di stabilità di Lyapounov consente di trarre delle conclusioni sulla stabilità senza conoscere esplicitamente le soluzioni. D'altro canto non esiste un procedimento automatico valido in tutti i casi per fabbricare le funzioni di Lyapounov, a parte il caso dei pozzi in cui il comportamento qualitativo è già noto. Le funzioni di Lyapounov sono spesso suggerite dall'interpretazione fisica del sistema dinamico, per esempio in termini di energia totale.

Andrea Milani 2009-06-01