3.7 INSIEMI LIMITE

Sommario Le soluzioni che non ``escono'' dall'insieme di definizione del campo vettoriale sono definite per ogni $t$ in ${\bf R}$, ma non sempre tendono ad un punto limite: i valori limite possono formare degli insiemi limite non banali. Però non tutti gli insiemi possono essere insiemi limite, perché devono soddisfare alcune proprietà topologiche.

Il teorema della continuazione delle soluzioni assicura che una soluzione di un sistema dinamico continuo, definito (e di classe $C^1$) su di un aperto $W\subset{\bf R}^n$, o è definita per ogni $t$ abbastanza grande, oppure esce definitivamente per $t\to +\infty$ da ogni compatto $K\subset W$. Analogamente per $t\to -\infty$. Supponiamo che una certa soluzione $X(t)$ resti sempre dentro un compatto $K\subset W$; dunque possiamo assumere che essa sia un'orbita, cioè sia definita per ogni $t$ in ${\bf R}$; ma allora tutte le successioni di punti $X(t_m)$ con $t_m\to +\infty$ devono avere delle sottosuccessioni convergenti, cioè devono esistere dei valori limite della funzione $X(t)$ per $t\to +\infty$ (lo stesso per $t\to -\infty$).

L'insieme dei valori limite di un'orbita non cambia se si sceglie una diversa condizione iniziale $Y_0$ che si trova lungo la stessa traiettoria. Infatti, se $Y_0=X(t_0)$ per qualche $t_0$ in ${\bf R}$, sia $Y(t)$ l'orbita con condizione iniziale $Y_0$, allora per l'unicità della soluzione $Y(t-t_0)=X(t)$.

Definizione:

Dato un sistema dinamico continuo, l'insieme dei valori limite di un'orbita $X(t)$ per $t\to +\infty$ si chiama insieme $\omega$-limite dell'orbita. L'insieme dei valori limite per $t\to -\infty$ si chiama insieme $\alpha$-limite. Gli uni e gli altri si indicano anche con il nome di insiemi limite quando non importa distinguere i due casi.

Se l'orbita ``va all'infinito'', cioè non è limitata, gli insiemi $\alpha$-limite ed $\omega$-limite possono essere vuoti. Lo stesso può accadere se l'orbita tende alla frontiera dell'insieme su cui il sistema dinamico è definito.

Dato un sistema dinamico continuo su $W$ aperto di ${\bf R}^n$, se $L$ è l'insieme $\omega$-limite di una soluzione $X(t)=\Phi^t(X_0)$, allora:

• (a) $L$ è un insieme chiuso;

• (b) $L\cup W$ è un insieme invariante;

• (c) se $X(t)$ è un'orbita contenuta per $t\geq 0$ in un insieme compatto $K\subset W$, allora $L$ è un insieme connesso.

Gli insiemi $\alpha$-limite hanno le stesse proprietà (a), (b) e (c). Dimostrazione:

(a) Tutti gli insiemi limite (di qualunque successione o funzione) sono chiusi: in questo caso sia $Y_k$ (per ogni $k\in {\bf N}$) un punto limite in $L$, cioè esista una successione $t_{km}$ che tende a $+\infty$ per $m\to +\infty$, tale che


$$\lim_{m\to+\infty} X(t_{k\;m})=Y_k$$


e a sua volta la successione di punti limite $Y_k$ tenda a $Y$ per $k\to+\infty$; allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $m(k)$ tale che

$$\vert X(t_{k\;m(k)})-Y_k\vert\leq \varepsilon$$


da cui per l'unicità del limite di una successione

$$\lim_{k\to +\infty} X(t_{k\;m(k)}) = Y\; .$$


ossia $Y$ appartiene ad $L$.

(b) Sia $Y_0$ un punto dell'$\omega$-limite $L$, cioè esista una successione $t_m\to +\infty$ tale che:


$$\lim_{m\to +\infty}\Phi^{t_m}(X_0)=\lim_{m\to +\infty} X(t_m)=Y_0\; .$$


dove $\Phi^t$ è il flusso integrale. Allora, se $\Phi^\delta(Y_0)=Y(\delta)$ è un qualsiasi altro punto dell'orbita per $Y_0$,

$$\Phi^\delta(Y_0)= \Phi^\delta\left(\lim_{m\to +\infty}\Phi^{t_m}(X_0)\right)= \lim_{m\to +\infty}\Phi^{t_m+\delta}(X_0)=$$




$$=\lim_{m\to +\infty}\Phi^{t_m}\left(\Phi^\delta(X_0)\right)= \lim_{m\to +\infty}\Phi^{t_m}\left(X(\delta)\right)\;,$$


cioè anche $Y(\delta)$ è un punto dell'insieme $\omega$-limite $L$.

Abbiamo utilizzato due proprietà del flusso integrale: di essere una funzione continua delle condizioni iniziali e le sue proprietà di composizione.

(c) Supponiamo che $L$ possa essere diviso in due parti $L_1,L_2$ tali che esistono due aperti disgiunti $U_1,U_2$ con $L_i=L\cap U_i$; allora esistono due successioni $t_m, s_m\to +\infty$ tali che $X(t_m)$ tende ad un punto di $L_1$ ed $X(s_m)$ tende ad un punto di $L_2$, per cui $X(t_m)$ sta definitivamente in $U_1$ ed $X(s_m)$ sta definitivamente in $U_2$. Possiamo supporre che per ogni $m$ si ha $t_m< s_m$, a meno di passare a sottosuccessioni.

Allora esiste una terza successione $z_m$ con $t_m< z_m<s_m$ tale che $X(z_m)$ non sta né in $U_1$ né in $U_2$. $z_m\to+\infty$. La successione $X(z_m)$ (che è contenuta nel compatto $K$) ha almeno un punto limite che non sta né in $U_1$ né in $U_2$, ma è un punto dell'insieme $\omega$-limite $L$; da qui la contraddizione.

Per gli insiemi $\alpha$-limite si possono usare gli analoghi argomenti per $t\to -\infty$.

 C.D.D.

Benché il teorema che precede indichi delle proprietà importanti, tuttavia queste non sono sufficienti a caratterizzare gli insieme limite: si possono costruire degli insiemi chiusi, invarianti ed anche connessi che non possono essere insieme limite di alcun sistema dinamico. La ricerca di una caratterizzazione degli insieme limite è molto difficile, e una soluzione completa di questo problema si può dare solo in ${\bf R}^2$, come si vedrà nella Sezione 3.8.

Orbite periodiche

Definizione:

Una soluzione $X(t)$ di un sistema dinamico si dice orbita periodica se è periodica come funzione di $t$, cioè se esiste un $P\neq 0$ tale che

$$X(t+P)=X(t)$$


per ogni $t$ in ${\bf R}$. Il più piccolo di tali $P$ (esiste, poiché $X(t)$ è una funzione continua) si dice periodo dell'orbita periodica.

Un punto di equilibrio ha ``periodo zero'' e non è considerato un'orbita periodica.

Figura 3.12: Orbita periodica che funge da ciclo limite

Per le orbite periodiche ogni punto della traiettoria è un valore limite:

$$\lim_{m\to+\infty} X(t+mP)=X(t)$$

quindi l'insieme $\omega$-limite coincide con la traiettoria, e così l'insieme $\alpha$-limite.

L'insieme dei punti percorsi da un'orbita periodica può anche fungere da insieme $\omega$-limite (oppure $\alpha$-limite) per un'orbita diversa; in tal caso si parla di ciclo limite.

Esempio:

Il sistema dinamico :

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...ystyle=} &{\displaystyle -x -y(1-x^2-y^2)} \end{array}\right.$$


(Figura 3.12), in coordinate polari diventa

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle r\,\dot r} & {\di... ...laystyle -y\, \dot x +x\, \dot y=-r^2} \end{array}\right. \ .$$



Ne segue che $x^2+y^2=1$ è l'immagine di un'orbita periodica, percorsa in verso orario con periodo $2\pi$. Le condizioni iniziali con $r<1$ hanno $\dot r <0$, quindi l'origine come $\omega$-limite e l'orbita periodica come $\alpha$-limite. Le condizioni iniziali con $r>1$ hanno $\dot r>0$ e quindi il ciclo limite come $\alpha$-limite, mentre l'$\omega$-limite è vuoto (le orbite ``vanno all'infinito'').