5.3 TRASFORMATA DI LEGENDRE

Sommario Le equazioni tipiche della meccanica - e di molti altri modelli matematici di problemi fisici - non si presentano nella forma di equazioni di Hamilton, ma sono espresse direttamente in termini di derivate prime e seconde delle coordinate. Tuttavia, se le equazioni possono essere ricavate dalla definizione di una energia cinetica ed una energia potenziale, esse possono sempre essere espresse nella forma detta di Lagrange. Le equazioni di Lagrange possono a loro volta, sotto certe condizioni, essere equivalenti ad equazioni di Hamilton.

Trasformata di Legendre

La seconda delle equazioni di Hamilton fornisce una relazione tra il momento $p$ della coordinata q, e la sua velocità generalizzata, cioè la derivata $\dot q$:

$$\dot q= \frac{\partial {H}}{\partial {p}}(p,q)$$

Supponiamo che la funzione $H(p,q)$ sia di classe $C^2$ e strettamente convessa, se considerata come funzione della sola $p$, per $q$ fisso. Allora la trasformazione che esprime la $\dot q$ in funzione della $p$ è monotona crescente:

$$\frac{d^2{H}}{d{p}^2} >0 \Longleftrightarrow \frac{\partial {\dot q}}{\partial {p}} >0\;;$$

e va sotto il nome di trasformazione di Legendre:

$$(p,q)\longmapsto \left(q,\frac{\partial {H}}{\partial {p}}(p,q)\right)\;.$$

Questo è esattamente quello che abbiamo fatto nel caso newtoniano: se $h(p,q)=p^2/2m+V(q)$, allora la seconda equazione di Hamilton dice che $p=m\dot q$ e quindi tra i due piani $(q,\dot q)$ e $(p,q)$ c'è una trasformazione che consiste semplicemente in un cambiamento di scala, accompagnato dallo scambio dell'ordine degli assi. La condizione di convessità consente di generalizzare questa trasformazione anche nel caso in cui la relazione tra $\dot q$ e $p$ sia nonlineare.

Ne segue che la dinamica del sistema dinamico hamiltoniano può essere descritta anche nelle coordinate $(q,\dot q)$ anziché $(p,q)$. Il problema è come trasformare le equazioni di Hamilton nel piano $(p,q)$ in equazioni che descrivano la stessa dinamica nel piano $(q,\dot q)$.

Il sistema dinamico nel piano $(q,\dot q)$ si può scrivere in modo molto efficiente come equazione del secondo ordine: occorre definire la lagrangiana $L(q,\dot q)$ che può essere descritta geometricamente come l'opposto dell'ordinata all'origine della retta tangente al grafico dell'hamiltoniana (si intende sempre per un valore fissato di $q$), come indicato in Figura 5.4. Quindi la relazione tra $H(p,q)$ ed $L(q,u)$ (indicando con $u$ la variabile che svolge il ruolo di $\dot q$) è data dall'equazione della tangente alla curva $h=H(p)$ s(con $q$ fisso) che è:

$$h=p\,u-L(u)=H(p)\;,$$

ossia, indicando anche la dipendenza da $q$ e riscrivendo $\dot q$ al posto di $u$:

$$L(q,\dot q)= p\, \dot q- H(p,q)\;.$$

Figura 5.4: La trasformata di Legendre si può esprimere geometricamente mediante l'intersezione della retta tangente al grafico di una funzione con l'asse delle ordinate.

Si noti che se vale la condizione di convessità, per cui la relazione tra $p$ e $\dot q$ è invertibile, la formula qua sopra può essere usata nei due sensi. Può essere la definizione di $L(q,\dot q)$ se si conosce in modo esplicito $H(p,q)$; in tal caso occorre sostituire a $p$ la sua espressione in termini di $\dot q$. Ma se al contrario si conosce $L(q,\dot q)$, la stessa formula definisce $H(p,q)$, pur di sostituire a $\dot q$ la sua espressione in funzione di $p$. Questa relazione involutiva tra le due funzioni $H(p,q)$ ed $L(q,\dot q)$ si designa con il nome di trasformata di Legendre.

Esempio:

Nel caso newtoniano $p=m\dot q$, quindi $H(p,q)= {p^2}/{2m}+ V(q)$ corrisponde a

$$L(q,\dot q)= m\dot q\,\dot q -H(m\dot q, q)= m\,\dot q^2 -\frac{(m\dot q)^2}{2m} -V(q)= \frac m2\, \dot q^2 -V(q)$$

Equazione di Lagrange

Dobbiamo ora ricavare l'equazione di Lagrange, che esprime - in termini della funzione di Lagrange - la dinamica nel piano $(q,\dot q)$. Calcoliamo le derivate parziali della funzione di Lagrange, tenendo conto della dipendenza di $p$ sia da $q$ che da $\dot q$ per effetto della inversa della trasformazione di Legendre:

$$p=p(q,\dot q)\Longrightarrow \frac{\partial {L}}{\partial {q... ...artial {H}}{\partial {p}} \, \frac{\partial {p}}{\partial {q}}$$

che si semplifica perché $\dot q= \partial H/\partial p$ in

$$\frac{\partial {L}}{\partial {q}}(q,\dot q)= -\frac{\partial {H}}{\partial {q}}(p,q)\;.$$

Si intende che la relazione qui sopra vale con i due membri calcolati nei punti corrispondenti - per la trasformazione di Legendre - nei due piani.

In modo analogo

$$p=p(q,\dot q)\Longrightarrow \frac{\partial {L}}{\partial {\... ... {H}}{\partial {p}} \, \frac{\partial {p}}{\partial {\dot q}}=$$

si semplifica usando la trasformazione di Legendre, e si riduce a:

$$\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}(q,\dot q)= p(q,\dot q)$$

che esprime l'inversa della trasformazione di Legendre. Resta ora da utilizzare la prima delle equazioni di Hamilton:

$$\dot p= -\frac{\partial {H}}{\partial {q}} \Longleftrightarr... ...rtial {\dot q}}\right) = +\frac{\partial {L}}{\partial {q}}\;.$$

In conclusione le equazioni di Hamilton nel piano $(p,q)$, e l'equazione di Lagrange nel piano $(q,\dot q)$:

$$\frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}\right) -\frac{\partial {L}}{\partial {q}} =0\;.$$

esprimono dinamiche equivalenti nei due sistemi di coordinate, nel senso che la trasformazione di coordinate (un diffeomorfismo) manda le soluzioni dell'una nelle soluzioni dell'altra, lo stesso fa la trasformazione inversa. Si parla della dinamica di un sistema quando ci si riferisce alle soluzioni, senza aver bisogno di precisare il sistema di coordinate in cui sono espresse, cioè senza scegliere tra le possibili dinamiche equivalenti.

L'equazione di Lagrange è un'equazione differenziale del secondo ordine; per ricavare il corrispondente sistema dinamico nel piano $(q,\dot q)$ occorre considerare che il momento $p$ è funzione di $(q,\dot q)$, quindi

$$\frac d{d\,t}p(q,\dot q)= \frac{\partial {p}}{\partial {q}}\, \dot q + \frac{\partial {p}}{\partial {\dot q}}\, \ddot q\;;$$

sostituendo nell'equazione di Lagrange

$$\frac{\partial {p}}{\partial {q}}(q,\dot q)\, \dot q + \frac... ...ot q)\, \ddot q- \frac{\partial {L}}{\partial {q}}(q,\dot q)=0$$

è della forma risolubile rispetto alla derivata seconda, quando non si annulla il coefficiente di $\ddot q$, cioè se:

$$\frac{\partial {p}}{\partial {\dot q}}= \frac{d^2{L}}{d{\dot q}^2}\neq 0 \ .$$

La condizione di non annullamento della derivata seconda della funzione di Lagrange rispetto a $\dot q$ è la condizione di convessità che assicura che l'inversa della trasformazione di Legendre è monotona crescente. Quindi tale condizione è equivalente alla condizione di convessità su $H$ come funzione di $p$, cioè al non annullamento della derivata seconda della funzione di Hamilton rispetto a $p$.

Esempio:

Nel caso newtoniano, come abbiamo visto, la funzione di Lagrange è

$$L(q,\dot q)=\frac m2\, \dot q^2 - V(q)$$


e quindi l'equazione di Lagrange è semplicemente

$$p=m\dot q \hspace{5mm},\hspace{5mm}\dot p =m\ddot q \hspace{5mm},\hspace{5mm}m\ddot q = -V'(q)$$


cioè l'equazione di Newton per un corpo di massa $m$ soggetto ad un campo di forze con energia potenziale $V(q)$.

Esercizio Date le hamiltoniane scrivere la corrispondente lagrangiana e l'equazione di Lagrange.

$$\begin{eqnarray*} 1.& H(p,q)=&\frac{p^2}2 +pq\\ 2.&H(p,q)=&e^{p(q^2+1)}\\ 3.& H(p,q)=&\frac{\vert p\vert^\alpha}\alpha+V(q),\ con\ \alpha>2 \end{eqnarray*}$$

(Soluzione) Esercizio Date le lagrangiane

$$\begin{eqnarray*} 1.& L(q,\dot q)&=-\sqrt{1-\dot q^2}, \ con\ \vert\dot q\vert<1... ...)&=\frac12A^2(q){\dot q}^2+B(q)\dot q-V(q)\;,\ con\ A^2(q)\neq 0 \end{eqnarray*}$$

scrivere la corrispondente hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. (Soluzione)

Cambiamento di coordinata

La coordinata $q$ parametrizza lo spazio delle configurazioni, ma naturalmente la scelta di un altra coordinata è possibile. Supponiamo che $x=x(q)$ sia un cambiamento di coordinata, espresso da una funzione differenziabile, invertibile e con inversa differenziabile; questo implica che la derivata $dx/dq\neq 0$. Supponiamo che la funzione di Lagrange $L(q,\dot q)$ si trasformi in ${\cal L}(x,\dot x)$, nel senso che le due funzioni hanno lo stesso valore nei punti corrispondenti:

$${\cal L}(x(q),\dot x(q,\dot q))=L(q,\dot q)$$

Sia $x=x(q)$ un cambiamento di coordinata (con $dx/dq\neq 0$) di classe $C^2$; sia ${\cal L}(x,\dot x)=L(q,\dot q)$. Allora l'equazione di Lagrange nelle variabili $q$, e l'equazione di Lagrange nella variabile $x$, esprimono dinamiche equivalenti:

$$\frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}\r... ...al {\dot x}}\right) -\frac{\partial {\cal L}}{\partial {x}}=0$$

Dimostrazione:

La relazione tra le velocità generalizzate è data da:

$$\dot x= \frac{d{x}}{d{q}} \, \dot q\;,$$


con derivate parziali:

$$\frac{\partial {\dot x}}{\partial {\dot q}}= \frac{d{x}}{d{q... ...tial {\dot x}}{\partial {q}}= \frac{d^2{x}}{d{q}^2} \, \dot q$$



È nel calcolo di queste derivate parziali che si sfrutta l'ipotesi che $x(q)$ sia $C^2$.

Per trovare la formula di trasformazione dell'equazione di Lagrange basta usare le derivate di funzioni composte: per il momento $p$ coniugato alla coordinata $q$


$$p=\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}= \frac{\partial {{\... ...ac{\partial {{\cal L}}}{\partial {\dot x}}\,\frac{d{x}}{d{q}}$$


la cui derivata totale è

$$\dot p= \frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {{\cal L}}}{\parti... ...l L}}}{\partial {\dot x}}\, \frac{d^2{x}}{d{q}^2} \, \dot q\;.$$



Per completare l'espressione dell'equazione di Lagrange nella $q$ in termini della funzione trasformata ${\cal L}$ occorre calcolare anche l'altra derivata:


$$\frac{\partial {L}}{\partial {q}}= \frac{\partial {{\cal L}}... ...\cal L}}}{\partial {\dot x}}\,\frac{d^2{x}}{d{q}^2} \, \dot q$$


e poi mettere insieme l'equazione di Lagrange per la variabile $q$:

$$0=\frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}\... ...{\cal L}}}{\partial {\dot x}}\,\frac{d^2{x}}{d{q}^2} \, \dot q$$


in cui i due termini con la derivata seconda del cambiamento di coordinata si cancellano, e resta

$$\left[\frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial {... ...rtial {\cal L}}{\partial {x}}\right]\, \frac{d{x}}{d{q}} =0\;.$$


da cui la tesi, poiché $dx/dq\neq 0$.

 C.D.D.

La legge di trasformazione a cui soddisfano le equazioni di Lagrange è la stessa a cui soddisfano i gradienti e si chiama covariante, da cui il nome del teorema.

Esercizio Data la lagrangiana

$$L(x,\dot x) =\frac{\dot x^2}2 -x^2$$

trovare un cambiamento di coordinate $x=g(q)$ tale che

$${\cal L}(q,\dot q) = (1+2\,q)^2\, \frac{\dot q^2}2 - (q+q^2)^2$$

si trasforma in $L(x,\dot x)$. (Soluzione)