1.2 SISTEMI LINEARI, INTEGRABILITÀ

Sommario La legge che governa il moto, sia essa un campo vettoriale $F$ o una mappa $f$, può essere lineare o nonlineare. Nel caso lineare è possibile esprimere tutte le orbite in modo relativamente semplice, utilizzando funzioni trascendenti elementari. Nel caso nonlineare questo non è in generale possibile, e bisogna accontentarsi di una descrizione incompleta, di tipo qualitativo.

Dimensione 1

Esempio:

L'esempio più semplice di sistema dinamico continuo si ottiene in dimensione $n=1$, per $W={\bf R}$, e con per campo vettoriale una funzione lineare omogenea:

$$\frac{d{x}}{d{t}} = ax \hspace{5mm},\hspace{5mm}a\in {\bf R}$$


L'orbita $x(t)$ che passa per la condizione iniziale $x(0)=x_0$ si può esprimere mediante una funzione esponenziale:

$$x(t)=e^{at}x_0$$


Questa orbita è l'unica che passa per $x_0$ al tempo $t=0$: infatti, se $u(t)$ fosse un'altra soluzione con $u(0)=x(0)$:

$$\frac{d{}}{d{t}} \left[u(t)e^{-at}\right]= a u(t) e^{-at} -a u(t) e^{-at}=0$$


per cui

$$u(t)/e^{at}=u(0)/1=x_0\ .$$

Esempio:

L'analogo sistema dinamico discreto è il sistema in dimensione $n=1$ in cui la mappa è lineare omogenea:

$$x_{k+1}=bx_k \hspace{5mm},\hspace{5mm}b\in{\bf R},\ b\neq 0 \ .$$


L'orbita con condizione iniziale $x_0$ assegnata si esprime con una funzione polinomiale:

$$x_k=b^kx_0\ .$$


Anche in questo caso l'unicità dell'orbita con condizione iniziale $x_0$ è immediata: se $u_k$ fosse un'altra orbita con $u_0=x_0$, allora:

$$\frac{u_{k+1}}{x_{k+1}}=\frac{bu_{k}}{bx_{k}}= \ldots =\frac{u_{0}}{x_{0}}=1$$

La relazione tra i due esempi, di sistema lineare continuo e discreto, si ottiene mediante la discretizzazione del tempo $t$, cioè costruendo una successione di tempi, e di valori dello stato a questi corrispondenti. Il caso più semplice è quello in cui la discretizzazione ha un passo costante $h$:

$$t_k=kh \hspace{5mm},\hspace{5mm}x_k=x(t_k)$$

Allora il sistema discreto si costruisce a partire dal sistema continuo:

$$x(t_k)=x(kh)=e^{ahk}x_0= \left(e^{ah}\right)^k x_0$$

e la mappa discreta è:

$$x_{k+1}=bx_k \hspace{5mm},\hspace{5mm}b=e^{ah} \ .$$

Se si conoscono le orbite di un sistema continuo, in qualche forma esplicita, non c'è alcuna difficoltà a ricavarne un sistema discreto, per esempio con la discretizzazione $x_k=x(kh)$. Viceversa, il problema interessante è come scegliere un sistema discreto che approssimi un sistema continuo, al fine di ottenere qualche informazione sulle sue orbite: questo è l'argomento del capitolo 4.

Sistemi lineari

Un esempio appena meno semplice si ottiene in dimensione $2$ mettendo insieme (mediante un prodotto cartesiano) due equazioni lineari in dimensione 1. Esempio:

$$\frac{d{x}}{d{t}}= ax \hspace{5mm},\hspace{5mm}\frac{d{y}}{d{t}} =by \ .$$



Le orbite si ottengono risolvendo separatamente le due equazioni per le variabili $x$ ed $y$ che sono disaccoppiate:


$$x(t)= e^{at}\, x_0 \hspace{5mm},\hspace{5mm}y(t)=e^{bt}\, y_0$$


esprime tutte le orbite in funzione della condizione iniziale $(x_0, y_0)\in {\bf R}^2$.

Definizione:

Il flusso integrale (detto anche soluzione generale) di un sistema dinamico continuo è la famiglia ad un parametro di applicazioni

$$\Phi^t: X_0\longmapsto X(t)$$


che per ogni tempo $t\in {\bf R}$ mandano la condizione iniziale $X_0$ nel valore della corrispondente soluzione al tempo $t$.

Nell'esempio qui sopra, il flusso integrale è noto esplicitamente mediante la sua espressione analitica (a base di esponenziali); in questo senso il sistema dinamico è integrabile.

È anche possibile ottenere dell'informazione qualitativa, per esempio sullo stato asintotico del sistema dinamico, cioè calcolare i limiti per $t\longrightarrow +\infty$ e per $t\longrightarrow -\infty$. Per il sistema dinamico dell'esempio qui sopra, i limiti dipendono solo dalla condizione iniziale e dal segno di $a,b$: Esempio:

Per ogni condizione iniziale:

$$a<0\ , \ b<0 \Longrightarrow \lim_{t\to +\infty} (x(t),y(t))=(0,0)$$


mentre per ogni condizione iniziale diversa da $(x_0,y_0)=(0,0)$:

$$a>0\ , \ b>0 \Longrightarrow \lim_{t\to +\infty} (x(t),y(t))=\infty,$$


dove il simbolo $\infty$ indica limite infinito in ${\bf R}^n$. Il caso con $a>0>b$ è un po' più complicato; se $x_0=0$ anche $x(t)=0$ :

$$a>0>b\ ,\ x_0=0 \Longrightarrow \lim_{t\to +\infty} (x(t),y(t))=(0,0)$$


mentre per tutte le altre condizioni iniziali:

$$a>0>b\ ,\ x_0\neq0 \Longrightarrow \lim_{t\to +\infty} (x(t),y(t))=\infty$$

Esercizio Trovare i limiti per $t\longrightarrow \pm \infty$ in tutti gli altri casi. (Soluzione)

Benché l'esempio qui sopra sia un caso molto semplice, è possibile ricondursi ad un caso altrettanto semplice per una classe di sistemi dinamici:

Definizione:

Un sistema dinamico continuo si dice lineare quando il campo vettoriale a secondo membro è lineare, cioè se è della forma:

$$\frac{d{X}}{d{t}} = A\, X$$


con $X\in {\bf R}^n$, $A$ una matrice $n\times n$ a coefficienti costanti.

Come vedremo nella Sezione 2.3, tutti i sistemi dinamici lineari si possono ricondurre all'esempio qua sopra quando la matrice $A$ è diagonalizzabile.

Sistemi nonlineari

Un sistema dinamico continuo si dice nonlineare, se è della forma

$$\frac{d{X}}{d{t}} = F(X)\ ,$$

con $F$ non lineare; in tal caso è in generale difficile da risolvere (nel senso di descrivere esplicitamente il flusso integrale).

Esempio:

In dimensione $1$:

$$\frac{d{x}}{d{t}}=g(x)$$


con $g(x)$ una funzione differenziabile nonlineare, è un'equazione differenziale ordinaria a variabili separabili ed ha soluzioni che si trovano considerando le primitive di $1/g(x)$:

$$\int\,\frac 1{g(x)}\,dx =G(x)+c \hspace{5mm},\hspace{5mm}\frac{d{G(x)}}{d{t}}=\frac1{g(x)}$$


con $c$ una costante. Allora se $g(x)\neq 0$ possiamo considerare $t(x)$ come una primitiva di $1/g(x)$, ed $x(t)$ è la funzione inversa, che esiste perché $G'(x)=1/g(x)\neq 0$:

$$t(x)=G(x)+c \Longrightarrow x(t) =G^{-1}(t-c)$$


ed al variare di $c$ si ottengono tutte le soluzioni. Si noti inoltre che se $g(x_0)=0$ si ha una soluzione $x(t)\equiv x_0$ e, per il teorema di unicità, nessun altra soluzione può passare per $x_0$.

Le soluzioni ottenute nell'esempio qui sopra, malgrado si tratti dell'esempio più semplice possibile di sistema dinamico nonlineare, non sono esplicite nello stesso senso delle soluzioni di un sistema dinamico lineare:

• Prima di tutto occorre eseguire una quadratura, o calcolo di primitiva: come è noto esistono funzioni con espressioni analitiche molto semplici, le cui primitive non hanno un'espressione analitica finita come composizione di funzioni elementari (esempio: $dx/dt=x/e^x$).

• In secondo luogo occorre invertire la primitiva, e l'inversa di una funzione con espressione analitica semplice non è detto che sia esprimibile come composizione di funzioni elementari (esempio: $dx/dt=1/(1/x+\cos x)$).

Esercizio Scrivere tutte le soluzioni di:

$$\frac{d{x}}{d{t}}= 1+x^2$$

Questo sistema dinamico ha soluzioni definite per ogni $t\in {\bf R}$? (Soluzione)

Esercizio Scrivere tutte le soluzioni di:

$$\frac{d{x}}{d{t}}= \frac1{1+x^2}$$

Questo sistema dinamico ha soluzioni definite per ogni $t\in {\bf R}$? (Soluzione)

Un sistema dinamico nonlineare può essere non integrabile in un senso più forte, cioè la soluzione può non essere esprimibile neppure con quadrature ed inversioni; in generale questo si verifica anche in dimensione 2, cioè per un sistema dinamico della forma:

$$\frac{d{x}}{d{t}}=a(x,y) \hspace{5mm},\hspace{5mm}\frac{d{y}}{d{t}}=b(x,y)$$

dove $a(x,y), b(x,y)$ sono funzioni nonlineari. Per questo nel caso di sistemi dinamici nonlineari si può essere costretti a limitarsi ad uno studio qualitativo delle soluzioni, come discusso nel capitolo 3.