C.4 Soluzioni del capitolo 4

ESERCIZIO 4.1 In termini della matrice compagna $A$ dell'equazione, il problemi hanno soluzione

$$\left[\begin{array}{c}{x_k}\\ {x_{k+1}}\end{array}\right]=A^k\,\left[\begin{array}{c}{x_0}\\ {x_1}\end{array}\right]\;.$$

1. Calcolando la forma canonica di $A$, risulta
   
   $$A^k={\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {1}&{1}\end{array}\ri... ...\sqrt5)/2]^k}&{0}\\ {0}&{[(1-\sqrt5)/2]^k}\end{array}\right]$$
   
   
   
   
   $$V=\left[\begin{array}{cc}{2}&{2}\\ {1+\sqrt5}&{1-\sqrt5}\en... ...y}{cc}{\sqrt5-1}&{2}\\ {\sqrt5+1}&{-2}\end{array}\right] \;;$$
   
   
   quindi la successione di Fibonacci è calcolabile con
   
   $$x_{k+1}=\frac{\sqrt5}5\left [\left ( \frac{1+\sqrt5}2\right )^{k+2} -\left (\frac{1-\sqrt5}2\right )^{k+2} \right ]\;.$$
   
   

2. Gli autovalori $\lambda_\pm=1\pm i\sqrt3$ di
   
   $$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {-4}&{2}\end{array}\right]$$
   
   
   sono complessi, e la forma canonica di $A$ è la rappresentazione matriciale di $\lambda_+$ rispetto alla base costituita da parte reale e parte immaginaria di un autovettore di $\lambda_-$:
   
   $$A=V\,{\tilde A}\,V^{-1}\;,$$
   
   
   
   
   $$\tilde A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-\sqrt3}\\ {\sqrt3}&{1... ...ay}{cc}{1}&{0}\\ {1/\sqrt3}&{-1/\sqrt3}\end{array}\right]\;,$$
   
   
   
   
   $${\tilde A}^k=(I+\sqrt3 J)^k=2^k \left [I\cos\left (k\frac\pi3\right )+J\sin\left (k\frac\pi3\right )\right ]\;.$$
   
   
   Allora
   
   $$\left[\begin{array}{c}{x_k}\\ {x_{k+1}}\end{array}\right]=V... ...\cos[(k-1)\pi/3]}\\ {\sin[(k-1)\pi/3]}\end{array}\right] \;,$$
   
   
   e le orbite non sono in genere limitate.
3. La molteplicità algebrica dell'unico autovalore $\lambda=1$ di $A$ è 2, mentre l'autospazio ha dimensione 1, generato da $(1,1)$. La forma canonica è
   
   $$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {-1}&{2}\end{array}\right]=V\,\tilde A\, V^{-1}\;,$$
   
   
   
   
   $$\tilde A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\ {0}&{1}\end{array... ...eft[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\ {-1}&{1}\end{array}\right]\;.$$
   
   
   Per $N=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {0}&{0}\end{array}\right]$ si calcola $\tilde A^k=(I+N)^k=(I+kN)$, ovvero
   
   $$\left[\begin{array}{c}{x_k}\\ {x_{k+1}}\end{array}\right]=V... ...t] +\left[\begin{array}{c}{x_0}\\ {x_1}\end{array}\right]\;.$$
   
   
   Le orbite sono "rettilinee" se $x_1\neq x_0$: i punti della bisettrice sono punti fissi della mappa.

ESERCIZIO 4.2 La matrice $A$ del sistema dinamico continuo e la matrice $A_E$ del sistema dinamico discretizzato con il metodo di Eulero sono

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\omega}\\ {\omega}&{0}\end{ar... ...rray}{cc}{1}&{h\,\omega}\\ {h\,\omega}&{1}\end{array}\right]$$

con autovalori $\pm \omega$ e $1\pm h\,\omega$, rispettivamente. Gli autospazi coincidono, cioè $V_1=(1,1)$ è autovettore di autovalore $\omega$ per $A$ e di autovalore $1+h\, \omega$ per $A_E$; $V_2=(1,-1)$ è autovettore di autovalore $-\omega$ per $A$ e di autovalore $1-h\, \omega$ per $A_E$. Quindi le condizioni iniziali parallele a $V_2$ hanno limite $(0,0)$ per $t\to +\infty$, tutte le altre tendono all'infinito, sia nel sistema continuo che in quello discreto.

ESERCIZIO 4.3 Il sistema dinamico discreto è:

$$\left[\begin{array}{c}{x_{k-1}}\\ {x_k}\end{array}\right]=A... ...{-1/(1+\omega^2\,h^2)}&{2/(1+\omega^2\,h^2)}\end{array}\right]$$

con gli autovalori di $A$:

$$\lambda_\pm=\frac{1\pm i\omega\,h}{1+\omega^2\,h^2}$$

che sono gli inversi di quelli che si ottengono con le differenze in avanti. Perciò le soluzioni del sistema discretizzato decrescono come $\left(1+\omega^2\,h^2\right)^{-k/2}$ e tendono a 0 per $k\to+\infty$.

PROBLEMA 4.4

Figura C.4: Alcune orbite della mappa standard del problema dei due corpi. La curva di livello zero dell'energia ha proprietà analoghe a quelle di una separatrice.

La mappa standard

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p_{k+1}} & {\displ... ...isplaystyle=} &{\displaystyle r_k+p_{k+1}} \end{array}\right.$$

ha il solo punto fisso $p=0,\; r=c^2/GM$ corrispondente al punto di equilibrio stabile (orbita circolare) del sistema continuo. A titolo di esempio, la Figura C.4 mostra il comportamento di alcune orbite per $h=0.3$. La curva continua è la curva di livello $E=0$.

ESERCIZIO 4.5 L'equazione alle differenze finite del secondo ordine

$$\Delta_0^2\, x_k= x_{k+1}-2\,x_k+ x_{k-1}= h^2\, \left[x_k^2-x_k^3\right]- h\,\gamma\, (x_k-x_{k-1})$$

si riduce ad un sistema dinamico discreto usando, per esempio, $y_k=x_k-x_{k-1}$:

$$y_{k+1}-y_k= h^2\, \left[x_k^2-x_k^3\right]- h\,\gamma\, y_k$$

da cui

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x_{k+1}} & {\displ... ...\,\gamma) +h^2\, \left[x_k^2-x_k^3\right]} \end{array}\right.$$

che ha come punti fissi $(x,y)=(0,0)$ e $(1,0)$, coincidenti con i punti di equilibrio del sistema discreto. Il punto $(1,0)$ è un pozzo per il sistema continuo, asintoticamente stabile anche per il sistema discreto per $h$ abbastanza piccolo (si calcoli il polinomio caratteristico in $0$ e in $1$). Il punto $(0,0)$ ha per il sistema continuo un linearizzato degenere, e dallo studio delle curve di livello (localmente come nella Figura 3.2) si deduce che è instabile. Nel sistema discreto il linearizzato in $(0,0)$ ha matrice

$$A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1-h\,\gamma}\\ {0}&{1-h\,\gamma}\end{array}\right]$$

con autovalori $1, 1-h\,\gamma$. perciò la mappa linearizzata è stabile, non asintoticamente stabile in questo punto. Dunque per quanto piccolo sia $h$ non conosciamo, almeno con gli strumenti studiati in questo corso, le proprietà di stabilità in $(0,0)$ del sistema discreto e non possiamo rispondere alla domanda.

ESERCIZIO 4.6 Se $y'=y$ allora $\sin(x_M)=0$, $x_M=0,\pi\; (mod\; 2\pi)$. Da $x'=x$ si deduce

$$x=x'=x_M+\frac h2\, y'= x+ \frac h2\;(y+y')=x+h\,y$$

da cui $y=0$, $x=x_M=0,\pi$.

ESERCIZIO 4.7 I seguenti programmi sono scritti seguendo la sintassi del linguaggio Matlab.
a) Il più semplice programma per eseguire esperimenti sulla mappa standard: stmap1.m . Uso: dare hold off per inizializzare la figura, e assegnare $h$; per ogni orbita, assegnare le condizioni $x_0,y_0$ e il numero di iterate $np$ e quindi eseguire stmap1.
b) Un semplice programma per il metodo simplettico a tre scorrimenti, sempre applicato alla discretizzazione del pendolo nonlineare: symp2.m . Uso: come sopra.
c) Idem per il metodo di Runge-Kutta implicito ad un passo intermedio: rkimp2.m .
d) Idem per il metodo di Runge-Kutta classico: rk4.m .