Sommario Nel piano si possono caratterizzare tutti gli insiemi
-limite ed
-limite, che o contengono punti di
equilibrio o sono cicli limite. Questo teorema non vale né su altre
varietà di dimensione 2 né in
per n>2, dove la situazione
può essere molto più complicata.
Ci limitiamo in questa sezione a considerare sistemi dinamici in
. Sia F(X) il campo vettoriale su un aperto
che definisce il sistema dinamico, e prendiamo un qualunque punto
di W che non sia un equilibrio, cioè tale che
. Allora per
passa una soluzione X(t) (con
).
Definizione:
In altre parole, la sezione locale attraversa trasversalmente tutte le soluzioni del sistema dinamico che incontra.
In particolare una sezione locale non può passare per un punto di equilibrio.
Proprietà:
Se S è l'immagine di una sezione locale, esiste un intorno U di S tale che tutte le soluzioni passanti dentro U devono necessariamente incontrare anche S. Infatti la distanza da S (con segno, tenendo conto dell'orientazione) ha derivata diversa da zero su S e (per continuità) su un suo intorno, e deve quindi passare dal valore zero.
Una descrizione più precisa del comportamento delle soluzioni in un intorno di una sezione locale può essere ottenuta per mezzo del teorema di differenziabilità del flusso , con il quale si può dare a tale intorno una struttura prodotto.
La teoria qualitativa dei sistemi dinamici continui nel piano è resa
relativamente facile dal fatto che ci sono forti restrizioni, dovuti
alle proprietà topologiche del piano, alla maniera in cui una stessa
orbita può incontrare ripetutamente una sezione locale. Supponiamo
infatti che g sia una sezione locale in , con
, e
che X(t) sia una soluzione tale che
; per
(per
fissare le idee supponiamo
) sia inoltre
un punto
che incontra la stessa sezione locale g, cioè esista un altro
valore
del parametro
tale che
; supponiamo
infine
. Consideriamo allora la figura formata dalla curva
soluzione X(t) per
e dalla sezione locale per
: si tratta di una curva chiusa C,
differenziabile a tratti (vedi Figura 3.14).
Figure 3.14: I successivi incontri di una soluzione con una
sezione locale. La curva C che va da X0 a X1 lungo la soluzione
X(t), e poi da X1 ad X0 lungo una sezione locale, è una
curva continua chiusa e quindi la stessa soluzione X(t) resta
intrappolata all'interno o all'esterno, a seconda della posizione
relativa di X0 ed X1 sulla sezione locale, ma in entrambe una
terza intersezione X2 deve essere tale che X1 sta tra X0 ed
X2.
Si applica quindi il teorema della curva di Jordan , per
cui è diviso in due componenti connesse : una
limitata D, che si indica con il nome di interno di C, ed una
illimitata (l'esterno E di C). Una qualsiasi curva continua
non può uscire da D senza passare per C. In particolare una
curva soluzione, come la curva X(t) stessa, una volta che si trovi
dentro D non può uscirne che dal tratto
della sezione
locale. Però, la sezione essendo trasversale, le soluzioni che
passano da questo segmento o entrano tutte o escono tutte da D; se
la soluzione X(t) entra dentro D, non può più uscirne per
valori maggiori di t; se esce, non può rientrare. Se ne deduce il
lemma della sequenza monotona:
Lemma:
Dimostrazione del lemma:
Se l'arco di soluzione tra ed
, e l'arco
di sezione locale tra
ed
formano una curva chiusa C,
allora (come illustrato dalla Figura 3.14) ci sono due soli
casi: o la soluzione non può più uscire dall'interno D di C
(Figura 3.14 a sinistra), e allora
sta in D e
quindi `oltre'
lungo g; oppure la soluzione non può entrare
in D, e allora
si trova fuori da D e quindi `oltre'
lungo g (Figura 3.14 a destra).
Il lemma precedente, ed il teorema di invarianza degli insiemi limite , consentono di dimostrare il risultato principale della teoria qualitativa dei sistemi dinamici nel piano.
Teorema di Poincaré-Bendixon :
Nel piano gli insiemi
-limite ed
-limite
non vuoti e compatti , che non contengono punti di equilibrio, sono orbite periodiche.
Dimostrazione:
L'orbita Y(t) deve avere una successione di punti con
e
, per definizione di
-limite;
ma allora a questa successione se ne può associare (almeno
definitivamente, per k abbastanza grande) un'altra
che appartiene alla sezione locale e che
tende ad
lungo la sezione. Questo deriva dal fatto che la
successione
, avvicinandosi a
, deve anche avvicinarsi
alla sezione locale, e quindi entrare nell'intorno di quest'ultima a
partire dal quale l'incontro con la sezione è inevitabile.
La successione
deve essere monotona sulla sezione locale g,
come risulta dal lemma della sequenza monotona , e tendere a
.
Prendiamo uno di questi punti sulla sezione locale per
:
poiché appartiene all'orbita per
, è anche un punto
dell'
-limite di X(t) (gli insiemi
-limite sono
invarianti). Applicando lo stesso ragionamento, anche sull'orbita
X(t) si trova una successione di punti
appartenenti alla
sezione locale g, e che si avvicinano in modo monotono ad
.
A partire da questa costruzione, si può completare la dimostrazione in quattro passi:
deve stare tutta o nell'interno D o nell'esterno E della curva
C. Supponiamo che stia all'esterno: allora non può avere punti
limite all'interno, perché è chiuso , ed i valori
limite di qualsiasi successione di punti di un chiuso devono essere
nel chiuso stesso. Perciò l'insieme limite L non contiene punti
di D. Se P è un punto di
, possiamo supporre che sia
arbitrariamente vicino alla curva C (perché l'insieme limite è
connesso ), quindi esisterà una sezione locale
che passa per P e taglia anche
C. Si ripete la stessa costruzione del passo 1, e si mostra che
l'orbita X(t) non può ripassare vicino a P. Se invece X(t)
sta all'interno, vale lo stesso ragionamento scambiando il ruolo di
D ed E.
Teorema del punto fisso :
Sia C una curva chiusa che corrisponde ad una traiettoria di un
sistema dinamico in , tale che l'insieme di definizione W del
sistema dinamico contiene l'intera regione che sta all'interno di C.
Allora all'interno di C esiste o almeno un punto di equilibrio o
almeno un'altra orbita periodica (distinta da C).
Dimostrazione:
Poiché per ipotesi , le soluzioni con condizioni
iniziali in D non possono uscire da D, altrimenti dovrebbero
attraversare C e questo contraddirebbe l'unicità della soluzione
per il punto di incrocio. D'altro canto
è chiuso e
limitato, quindi compatto , e le soluzioni contenute in D
sono definite per ogni t in
, per il teorema di
continuazione delle soluzioni . Perciò esse hanno insieme
-limite (anche
-limite) non vuoto. L'insieme
-limite, oppure quello
-limite, potrebbe essere C
(come in Figura 3.13); però C non può essere
contemporaneamente sia
-limite che
-limite, senza
contraddire il Lemma della sequenza monotona . Quindi, per il
teorema di Poincaré-Bendixon ,
dentro D deve esserci o un punto di equilibrio o un ciclo limite.
Se però dentro D esistesse un ciclo limite , questo
racchiuderebbe un insieme invariante
, a cui si può applicare
lo stesso ragionamento. A partire da questo argomento si potrebbe
dimostrare che D contiene in ogni caso un punto di equilibrio; per
la dimostrazione si veda [Hirsch-Smale 74].
Problema
Sia dato un sistema dinamico sulla corona circolare
, con il campo vettoriale F
sul bordo di W che punta verso l'interno di W. Allora c'è
almeno un'orbita periodica.
Il teorema di Poincaré-Bendixon non ha un analogo in dimensione n>2. Anche in dimensione 2, ma su superfici diverse dal piano, possono esistere insiemi limite che non contengono equilibri ma sono molto diversi da orbite periodiche.
Esempio:
Come esempio di sistema dinamico continuo su prendiamo un
sistema dinamico costante su
, e passiamolo al quoziente:
si ottiene un sistema dinamico sul toro, il cui flusso
integrale va sotto il nome di flusso di Kronecker .
Se il rapporto è irrazionale, allora l'insieme
-limite di ogni orbita è tutto il toro; lo stesso per
l'
-limite. Se invece
, tutte le orbite sono
periodiche e quindi ciascuna coincide con i propri insieme limite
(si veda nel Capitolo 7).
Figure 3.15: Un sistema dinamico sul toro, definito dal
passaggio al quoziente di un campo vettoriale costante sul piano.