Sommario Per un sistema lineare non autonomo le soluzioni esistono per ogni valore della variabile indipendente per cui sono definiti e e continui i secondi membri. Si possono trarre conclusioni sulla stabilità dell'origine studiando l'evoluzione di un parallelepipedo intorno all'origine: se il volume tende a zero nel tempo, l'origine sarà un pozzo. Il volume evolve secondo un'equazione differenziale lineare in dimensione 1, in cui compare la traccia della matrice dei coefficienti del secondo membro.
Il comportamento qualitativo delle soluzioni può essere studiato per mezzo del legame fra gli invarianti del flusso integrale e gli invarianti della matrice A(t).
Nel caso di un sistema lineare non autonomo , in
cui la matrice
dei coefficienti dipende dal
tempo, le soluzioni esistono ancora per ogni condizione iniziale, e
sono tutte definite sull'intervallo I, per il teorema di
esistenza (caso lineare) .
Definizione:
Il wronskiano di è il volume orientato del
parallepipedo formato dai vettori
, nel senso della misura di
volume e dell'orientamento fissati dalla base di
rispetto alla
quale sono calcolate le componenti
.
Teorema del determinante wronskiano :
Siano soluzioni di
: allora
ovvero .
Dimostrazione:
Sviluppando in serie la soluzione di si ottiene
ottenendo così anche lo sviluppo della matrice di
I coefficienti sono di ordine 0 rispetto a
solamente per i=j: perciò nel determinante di
ciascuno
dei prodotti di n termini dei
contribuisce al coefficiente
di
con gli elementi della diagonale
, e lo sviluppo
in serie del determinante risulta
Dunque per un generico t
Nel caso a coefficienti costanti si ottiene la formula della traccia .
Esempio:
La posizione di equilibrio non è mai
asintoticamente stabile .
Infatti il sistema associato all'equazione è
se l'origine fosse asintoticamente stabile, il wronskiano del sistema
sarebbe infinitesimo per , mentre per qualunque
assegnata si ha Tr A(t)=0 e quindi
.
Problema Nel caso con dissipazione, l'altalena con piccole oscillazioni è modellata dall'equazione
In quali casi la posizione di equilibrio è
asintoticamente stabile ?
(Soluzione)