Sommario Un sistema dinamico continuo ha una
soluzione passante per ogni
condizione iniziale ; se tale soluzione, almeno per
ogni t>0, resta
sempre in un intorno di un punto di equilibrio, allora sarà
definita per ogni t>0, ed avrà senso chiedersi quale ne
sia il limite per . Se tale limite non dipende,
almeno localmente, dalla condizione iniziale scelta, si parla di
stabilità forte; in questo caso la predizione dello stato a cui il
sistema tende per
non è sensibile alle
piccole variazioni delle condizioni iniziali, ed è quindi
affidabile anche in presenza di piccoli errori di misura dello
stato iniziale.
Un sistema dinamico continuo , con F una funzione
regolare (di classe almeno
) su un aperto
, ammette sempre una ed una sola soluzione che passa
per la condizione iniziale
; questo è semplicemente
conseguenza del teorema di
esistenza e unicità .
Un caso particolarmente semplice si
verifica quando
:
Definizione:
Il teorema di esistenza e unicità garantisce anche
che tale soluzione è unica, quindi un'altra soluzione non
può entrare (o uscire) dal punto di equilibrio. In molti
esempi, come nei punti di tipo nodo oppure
fuoco , esistono soluzioni che si avvicinano sempre di
più ad un punto di equilibrio, o per o per
, ma non arrivano a coincidere con l'equilibrio
per nessun t finito.
Il teorema di esistenza e unicità in generale non
garantisce l'esistenza di un'orbita, ma solo una soluzione
definita per valori di t in un intorno dello zero. Le
soluzioni possono essere espresse collettivamente mediante il
flusso integrale , che però in generale non è
definito per ogni , e neppure per ogni condizione
iniziale
per un
fissato: infatti
l'intervallo su cui ogni soluzione è definita dipende dalla
condizione iniziale:
Il flusso integrale rappresenta collettivamente tutte le
soluzioni del sistema dinamico continuo, nel senso che per
fisso e t variabile
è la soluzione con
condizioni iniziali
:
Per il teorema di
continuità del flusso
la funzione , per t fisso, è una
funzione continua in tutti i punti X in W in cui è definita.
In effetti tale funzione è addirittura differenziabile, come
risulta dal teorema di differenziabilità del flusso .
Però il teorema di
continuazione delle soluzioni assicura che
la soluzione non cessa di essere definita ad un tempo finito
, a meno che per
la soluzione stessa non tenda
verso il bordo di W (in un senso che viene precisato nella
sezione A.2). Perciò se una
soluzione resta ``per sempre'' (diciamo per ogni t>0) in un
intorno di un certo punto
, ha senso chiedersi quale ne
sia il limite per
.
Teorema del punto limite : Se una soluzione X(t)
ammette limite per :
e questo punto limite appartiene all'aperto W su cui
il campo vettoriale F(X) è definito e regolare, allora
è un punto di equilibrio. Lo stesso vale nel caso del
limite per
.
Dimostrazione:
Perciò il punto sta fermo, quindi la sua velocità
è zero, cioè è un punto di equilibrio.
La stabilità è un concetto base nella teoria dei sistemi dinamici, e forse proprio per questo esistono molte diverse definizioni che formalizzano questa nozione. Qui presentiamo solo i due tipi principali di stabilità per un punto di equilibrio in un sistema dinamico continuo.
Definizione:
Per il teorema precedente, il punto attrattivo S deve essere un punto di equilibrio.
Esempio:
con a<0, il punto di equilibrio nell'origine è asintoticamente stabile. Infatti, in coordinate polari
il sistema dinamico diventa:
ed il comportamento di tutte le soluzioni diverse dall'equilibrio è espresso da
per cui l'origine è comunque punto limite, le soluzioni si avvolgono a spirale attorno all'equilibrio (in verso antiorario se b>0).
In realtà non è definita in ogni caso dalla
funzione arcotangente, che assume solo valori tra
e
. In effetti
è una variabile angolo ,
cioè è definita solo a meno di multipli di
; però la
derivata totale di
è ben definita per ogni punto diverso
dall'origine (i calcoli eseguiti qui sopra sono quindi corretti).
Definizione:
S stesso appartiene sempre al suo bacino. S è attrattivo se e solo se è un punto interno al suo bacino di attrazione. Però anche un punto che non è attrattivo può avere un bacino di attrazione, come si vede nel caso della sella instabile .
Esempio:
Definizione:
Si noti che l'intorno V dipende dalla scelta di U, cioè tutte le soluzioni che partono vicino a S restano in un suo intorno arbitrariamente piccolo, ma a condizione di avere condizione iniziale adeguatamente vicina.
Un punto di equilibrio stabile e attrattivo si dice asintoticamente stabile .
Anche un punto stabile deve necessariamente
essere di equilibrio: se così non fosse, prendiamo un
punto sulla stessa soluzione, cioè con
. Allora esiste un intorno U di S che non
contiene Y; qualunque sia l'intorno V di S, esso
contiene S, e ogni soluzione passante per S non può
stare definitivamente in U perché se per t=k passa per
S, per t=k+h passa per Y che non è in U.
Esempio:
con , il punto di equilibrio nell'origine è
stabile, ma non attrattivo. Infatti in coordinate
polari:
quindi le soluzioni sono della forma
ed il limite per non esiste; però gli insiemi del
tipo
sono un
sistema fondamentale di intorni ,
ciascuno dei quali è invariante per il flusso
integrale. Quindi l'origine è stabile ma non asintoticamente
stabile.
Definizione:
Una volta trovato l'intorno U, l'intorno V è scelto arbitrariamente piccolo, e ciononostante alcune soluzioni che partono da V finiscono con l'uscire da U.
Un punto è instabile se e solo se non è stabile.
Esempio:
con a>0>b, tutte le
soluzioni con condizione iniziale con
tendono all'infinito per
, anche per un
arbitrariamente piccolo, perciò l'origine è un punto di
equilibrio instabile.
Il bacino del punto di equilibrio è
costituito dai punti con .
Gli esempi qui sopra sono sistemi dinamici lineari, dei quali è possibile scrivere esplicitamente le soluzioni; perciò lo studio del comportamento qualitativo delle soluzioni, come per esempio la stabilità, è banale. Al contrario, le definizioni qualitative come la stabilità diventano uno strumento essenziale quando si ha a che fare con un sistema dinamico nonlineare, specialmente se si tratta di un sistema dinamico non integrabile .