next up previous contents index
Next: 2.2 NORME E CONVERGENZA Up: 2 SISTEMI LINEARI Previous: 2 SISTEMI LINEARI

2.1 ESPONENZIALE DI MATRICI

 

Sommario Vogliamo generalizzare la funzione esponenziale in modo che sia definita per argomenti matrici. Così come la funzione esponenziale di argomento reale risolve l'equazione differenziale dx/dt=x, l'esponenziale di matrici risolve il più generale sistema dinamico continuo lineare. Le proprietà dell'esponenziale di matrici sono strettamente analoghe a quelle della funzione esponenziale ordinaria, con qualche importante differenza che deriva dalla non commutatività del prodotto di matrici.

Dimensione 1

Dato il sistema dinamico dell'esempio della Sezione 1.2:

displaymath34808

con tex2html_wrap_inline34810 una costante, si può porre il problema in forma integrale:

displaymath34812

Il metodo delle approssimazioni successive  consiste nel partire da un'approssimazione triviale come tex2html_wrap_inline34814 e nel definire per ricorrenza una successione di funzioni con l'operatore integrale della formula precedente:

displaymath34816

Calcolando esplicitamente gli integrali, si trova:

displaymath34818

e in generale:

displaymath34820

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

displaymath34822

Per dare un senso rigoroso all'uguale della formula qui sopra occorre verificare che la serie di funzioni è uniformemente convergente , e quindi per il teorema di completezza delle funzioni continue  la sua somma sarà una funzione continua.

Dimensione n

Consideriamo ora il caso generale di un sistema dinamico continuo lineare :

displaymath34824

con tex2html_wrap_inline34582 , A di tipo tex2html_wrap_inline34586 . La forma integrale sarà:

displaymath34832

ed il procedimento di approssimazioni successive:

displaymath34834

Eseguendo esplicitamente gli integrali, si trova:

displaymath34836

displaymath34838

dove I è la matrice identità tex2html_wrap_inline34586 , e in generale:

displaymath34844

Si noti che tutti questi passaggi sono del tutto identici a quelli del caso scalare, a parte la sostituzione delle lettere minuscole con le maiuscole. Questo è possibile perché in nessuno di questi passaggi si è usata la proprietà commutativa della moltiplicazione, che non vale per il prodotto di matrici (e non ha neppure senso per il prodotto di matrici con vettori). Per ottenere questo risultato bisogna però tenere tex2html_wrap_inline34452 a destra della formula.

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

displaymath34848

La formula qui sopra può essere usata come definizione della funzione esponenziale di matrice  :

displaymath34850

a condizione di provare che la serie è convergente.

Esempi

 

Esempio:

Esempio:

Esempio:

Questi esempi sono abbastanza generali, nel senso che ci si può ricondurre a questi, o ad una combinazione di questi, per calcolare le esponenziali di matrice in tutti i casi in cui la matrice A ha autovalori reali; e quindi per risolvere molti sistemi dinamici continui lineari. Questo sarà dimostrato nelle Sezioni 2.3, 2.5.

Esercizio Scrivere le soluzioni del sistema dinamico continuo lineare tex2html_wrap_inline34858 nei seguenti casi:

displaymath34900

Suggerimento: per la prima matrice usare le serie di Taylor

displaymath34902

(Soluzione)


next up previous contents index
Next: 2.2 NORME E CONVERGENZA Up: 2 SISTEMI LINEARI Previous: 2 SISTEMI LINEARI

Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997