Sommario La legge che governa il moto, sia essa un campo vettoriale F o una mappa f, può essere lineare o nonlineare. Nel caso lineare è possibile esprimere tutte le orbite in modo relativamente semplice, utilizzando funzioni trascendenti elementari. Nel caso nonlineare questo non è in generale possibile, e bisogna accontentarsi di una descrizione incompleta, per esempio di tipo qualitativo.
Esempio:
, e con un
campo vettoriale che sia una funzione lineare omogenea:
L'orbita x(t) che passa per la condizione iniziale 
si
può esprimere mediante una funzione esponenziale:
Questa orbita è l'unica che passa per 
al tempo t=0:
infatti, se u(t) fosse un'altra soluzione con u(0)=x(0):
per cui
Esempio:
L'orbita con condizione iniziale assegnata si esprime mediante
una funzione polinomiale:
Anche in questo caso l'unicità dell'orbita con condizione iniziale
è immediata: se 
fosse un'altra orbita con 
,
allora:
La relazione tra i due esempi, di sistema lineare continuo e discreto, si ottiene mediante la discretizzazione del tempo t ad un tempo discreto a passo costante h, cioè costruendo una successione di tempi, e di valori dello stato a questi corrispondenti. Il caso più semplice è quello in cui la discretizzazione ha un passo costante h:
Allora il sistema discreto si costruisce a partire dal sistema continuo:
e la mappa discreta è:
In generale se si conoscono le orbite del sistema continuo, in
qualche forma esplicita, non c'è alcuna difficoltà ad ottenere
un sistema discreto, per esempio con la discretizzazione
. Viceversa, il problema interessante è come scegliere
un sistema discreto che approssimi un sistema continuo: questo è
l'argomento del capitolo 4.
Un esempio appena meno semplice si ottiene in dimensione n=2 mettendo insieme (mediante un prodotto cartesiano) due equazioni lineari in dimensione 1:
Esempio:
Le orbite si ottengono risolvendo separatamente le due equazioni per le variabili x ed y che sono disaccoppiate:
In questo caso si possono facilmente esprimere tutte le orbite in
funzione della condizione iniziale 
.
Definizione:
che per ogni tempo
mandano la condizione iniziale 
nel valore
della corrispondente soluzione al tempo t.
Nell'esempio qui sopra, il flusso integrale è noto esplicitamente mediante la sua espressione analitica (a base di esponenziali); in questo senso il sistema dinamico si dice integrabile (ma una definizione precisa di questo concetto non può essere data a questo punto, vedi Capitolo 7).
È anche possibile ottenere dell'informazione qualitativa, per
esempio sullo stato asintotico del sistema dinamico, cioè calcolare
i limiti per 
e per 
. Per il sistema dinamico dell'esempio qui sopra, i limiti
dipendono solo dalla condizione iniziale e dal segno di a,b:
Esempio:
mentre per ogni condizione iniziale diversa da 
:
dove il simbolo 
indica limite infinito in 
.
Il caso con a>0>b è un po' più complicato; se 
anche
x(t)=0, e quindi:
mentre per tutte le altre condizioni iniziali:
Esercizio
Trovare i limiti per 
in tutti gli altri
casi.
(Soluzione)
Benché l'esempio qui sopra sia un caso molto semplice, è possibile ricondursi ad un caso altrettanto semplice per una classe di sistemi dinamici:
Definizione:
con 
, A una matrice 
a coefficienti costanti.
Come vedremo nella Sezione 2.3, tutti i sistemi dinamici lineari si possono ricondurre all'esempio qua sopra quando la matrice A è diagonalizzabile in campo reale.
Esercizio Dato il sistema dinamico (lineare bidimensionale)
Al contrario, un sistema dinamico continuo si dice nonlineare , se è della forma
con F non lineare; in tal caso è in generale difficile da risolvere (nel senso di descrivere esplicitamente il flusso integrale ).
Esempio:
con g(x) una funzione differenziabile nonlineare, è un'equazione differenziale ordinaria a variabili separabili ed ha soluzioni che si trovano considerando le primitive di 1/g(x):
con c una costante. Allora se 
possiamo
considerare t(x) come una primitiva di 1/g(x), ed x(t) è la
funzione inversa:
ed al variare di c si ottengono tutte le soluzioni.
Le soluzioni ottenute nell'esempio qui sopra, malgrado si tratti
dell'esempio più semplice possibile di sistema dinamico
nonlineare, non sono esplicite nello stesso senso delle soluzioni di
un sistema dinamico lineare:
).
).
Esercizio Scrivere tutte le soluzioni di:
Questo sistema dinamico ha
soluzioni definite per ogni ?
(Soluzione)
Esercizio Scrivere tutte le soluzioni di:
Questo sistema dinamico ha
soluzioni definite per ogni ?
(Soluzione)
Un sistema dinamico nonlineare può essere non integrabile in un senso ancora più forte, cioè la soluzione può non essere esprimibile neppure con quadrature ed inversioni; in generale questo si verifica anche in dimensione 2, cioè per un sistema dinamico della forma:
dove a(x,y), b(x,y) sono funzioni nonlineari.
Per questo nel caso di sistemi dinamici nonlineari si può essere costretti a limitarsi ad uno studio qualitativo delle soluzioni, che può essere ottenuto con i metodi discussi nel capitolo 3.