Sommario Un sistema dinamico esprime la variabilità di uno stato
nel tempo. Lo stato è rappresentato da un punto in uno spazio
vettoriale di dimensione n (o più in generale in una varietà
differenziabile di dimensione n). Il tempo può essere
rappresentato come continuo, 
, oppure discreto, 
.
Il sistema dinamico è la legge che esprime la variazione nel
tempo, mentre la sua soluzione è l'insieme delle orbite, in
funzione delle condizioni iniziali.
Definizione:
è un'equazione differenziale ordinaria autonoma
(cioè con secondo membro indipendente dal tempo)
dove F è un campo vettoriale, cioè 
con F una funzione differenziabile (di classe 
almeno).
Un'orbita di un sistema dinamico continuo è una funzione della
variabile continua a valori in W:
che soddisfa identicamente, per ogni , all'equazione
differenziale, cioè se si sostituisce:
Definizione:
è un'applicazione di W in sé:
con f una mappa, cioè una funzione differenziabile con inversa
differenziabile (di classe almeno).
Una orbita di un sistema dinamico discreto è una funzione
della variabile discreta 
a valori in W:
che soddisfa, per ogni :
Il sistema dinamico è definito dalla legge che governa il cambiamento, cioè dal campo vettoriale F o dalla mappa f, non dalle orbite, anche se ovviamente date tutte le orbite si può ricostruire il sistema dinamico; viceversa non è in generale facile trovare tutte le orbite di un sistema dinamico dato.
Interpretare la variabile indipendente t di un sistema dinamico continuo come tempo è abbastanza naturale, ma non è obbligatoria. Anche l'indice k della successione che risolve un sistema dinamico discreto può indicare un tempo, sia inteso come approssimazione di un tempo continuo, sia perché lo stato ha senso solo a intervalli discreti di tempo (per esempio ogni giorno lavorativo nel caso di variabili economiche).
Si usa la parola soluzione per indicare una curva X(t)
che soddisfa all'equazione di un sistema dinamico continuo solo per
valori di t in un intervallo (aperto). Non è detto a priori che
un sistema dinamico continuo abbia soluzioni definite per ogni (per ogni 
nel caso discreto), che quindi costituiscano
delle orbite; una soluzione X(t) (oppure 
) potrebbe uscire da
W, o andare all'infinito, per t finito (oppure k finito). Le
condizioni per cui ogni punto di W appartiene ad un'orbita nel
caso continuo saranno discusse nell'appendice A.
Nel caso discreto, se si fa l'ipotesi che l'applicazione f sia
iniettiva e surgettiva su W, cioè sia un diffeomorfismo di
W, allora per ogni 
esiste un'orbita definita da:
Al contrario nelle ipotesi qui fatte ogni sistema dinamico è
tale che, per ogni condizione iniziale 
, l'orbita tale che
è unica. Questo è ovvio nel caso discreto, è invece
un risultato significativo nel caso continuo, che sarà dimostrato
nell'appendice A.
Per ora limitiamoci a considerare il caso in cui W è un
aperto di 
, altrimenti la definizione di differenziabilità
per le funzioni F,f richiederebbe di essere precisata. Per esempio
se W è una varietà differenziabile di dimensione s<n immersa in , la
definizione di sistema dinamico discreto non cambia e richiede solo
di conoscere la definizione di funzione differenziabile da una
varietà ad un'altra (vedi sezione B.2);
nel caso continuo, F deve essere a valori nel
fibrato tangente a W.