Sommario La stabilità o instabilità di un punto di equilibrio può essere determinata esaminando la sola parte lineare del campo vettoriale, purché questa non abbia autovalori con parte reale zero. Infatti la parte lineare dell'equazione differenziale determina il carattere esponenziale del flusso integrale, e questo determina il comportamento qualitativo se l'esponente è diverso da zero.
Definizione:
dove A è la matrice jacobiana della funzione F calcolata in
(e quindi G è infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto
ad
), il sistema dinamico lineare
si chiama il sistema linearizzato di in
.
Le parti reali degli autovalori di A si chiamano esponenti di Lyapounov .
Se tutti gli esponenti di Lyapounov sono negativi il
punto di equilibrio si dice un pozzo ; se tutti gli
esponenti di Lyapounov sono positivi, il punto di equilibrio
si dice una sorgente .
Nel caso di un sistema dinamico continuo lineare ,
la stabilità delle soluzioni può essere dedotto dalla loro forma
esplicita in termini di funzioni elementari. Se ne possono ricavare
informazioni molto precise sull'andamento delle soluzioni per
.
Teorema del pozzo lineare :
Data la matrice A a coefficienti reali di tipo , le due
seguenti proprietà sono equivalenti:
per ogni condizione iniziale e per ogni t positivo.
Dimostrazione:
dove è un esponente di
Lyapounov (cioè la parte reale di un autovalore
di
A), e Q(t) è una funzione che per
cresce più
lentamente di ogni esponenziale.
(a) (b) Se b è una costante positiva tale che
ogni esponente di Lyapounov
, allora ogni componente della
soluzione tende a zero più rapidamente di
, da cui
segue (b).
(b) (a) Per assurdo: se esiste un esponente di
Lyapounov
, allora la funzione
non
tende a zero per
, e quindi c'è qualche componente
di qualche soluzione che non tende a zero, in contraddizione con (b).
Segue dal teorema, e dagli argomenti usati nella sua
dimostrazione, che l'origine è asintoticamente stabile se
e solo se è un pozzo per il sistema lineare. Invece, se esiste
anche un solo esponente di Lyapounov positivo l'origine è
instabile . Il caso in cui gli esponenti di Lyapounov siano
solamente (ma non tutti <0), non può essere deciso dal
punto di vista della stabilità sulla base della sola conoscenza
degli esponenti di Lyapounov: si possono trovare degli esempi sia
stabili che instabili (si
veda l'esempio di risonanza nella Sezione 2.5).
Esempio:
Introducendo una variabile velocità angolare si
ottiene il sistema dinamico lineare:
con matrice e polinomio caratteristico:
L'origine è un punto di equilibrio del tipo fuoco se
o nodo se (nodo improprio se
),
ma in ogni caso le parti reali degli autovalori sono negative e quindi
l'origine è un pozzo lineare.
Un teorema del tutto analogo riguarda il caso in cui tutti gli esponenti di Lyapounov sono positivi; la dimostrazione è in sostanza la stessa del caso precedente.
Teorema della sorgente lineare :
Data la matrice A a coefficienti reali di tipo , le due
seguenti proprietà sono equivalenti:
per ogni condizione iniziale e per ogni t positivo.
Se si studia il comportamento per t negativo, ed i limiti per
si scambia il comportamento di un pozzo con quella di
una sorgente. Infatti se si scambia t con -t, il sistema
dinamico
diventa
e gli autovalori di
-A sono gli opposti degli autovalori di A.
Per estendere la teoria delle sorgenti e dei pozzi al caso nonlineare, abbiamo bisogno di una diseguaglianza che deriva dalla teoria della forma canonica di Jordan :
Teorema della norma adattata :
Data una matrice A a coefficienti reali di tipo ,
esiste una base
di
tale che, se
sono due vettori espressi mediante le coordinate in questa base, ed il prodotto scalare definito da queste coordinate è:
vale la diseguaglianza
per ogni coppia di numeri reali tale che
Si può usare il prodotto scalare associato alla base V per
definire una norma `adattata' alla
matrice A ed ai suoi autospazi, e quindi riscrivere la
diseguaglianza come:
Dimostrazione:
Nel caso in cui A è una matrice semisemplice , la
matrice D ha sulla diagonale gli autovalori di A (ciascuno
ripetuto un numero di volte pari alla sua
molteplicità algebrica ,
e con le coppie di
autovalori coniugati rappresentati da un blocco
(ripetuto per gli autovalori multipli).
La base consiste negli
autovettori con autovettori reali
, e nelle
coppie
associate alle coppie di autovalori
(
sono la parte reale e la parte complessa di un
autovettore, come nel teorema del
sistema semisemplice ). Allora
e perciò
dove la prima somma è estesa agli autovalori reali e la
seconda a quelli complessi (contati con la loro molteplicità).
Quindi per tutti gli n autovalori reali o complessi
da cui seguono immediatamente le diseguaglianze.
Se la matrice A non è semisemplice, la matrice D è
diagonale a blocchi con
blocchi di Jordan della
forma , dove
ha un solo autovalore reale
oppure una sola coppia di autovalori complessi
, ed
è in forma canonica dei nilpotenti . Supponiamo che
l'autovalore di un certo blocco
sia reale, e siano
i vettori della base relativi ad un tale
blocco. Allora il fatto che immediatamente sotto la diagonale
principale ci siano dei coefficienti 1 si traduce in:
Per ottenere una nuova base in cui valgano le diseguaglianze
della tesi occorre riscalare ciascuna base
come segue:
con positivo abbastanza piccolo; allora
Allora per il prodotto
tende alla
stessa espressione del caso semisemplice, cioè:
quindi per abbastanza piccolo le diseguaglianze della
tesi sono verificate.
Nel caso nonlineare non si sanno, in generale, esprimere le soluzioni nell'intorno di un punto di equilibrio in forma analitica; in alcuni casi però si possono dedurre le proprietà di stabilità dallo studio del sistema linearizzato.
Teorema del pozzo nonlineare :
Sia un pozzo per il sistema dinamico
,
definito e
su
, e sia A la matrice del
sistema linearizzato in
. Se c è un numero reale
positivo tale che ogni autovalore
di A ha parte reale
, esiste un intorno U di
, (
)
tale che:
Dimostrazione:
Poiché la matrice jacobiana di F in è
A:
La formula precedente è la definizione di differenziabilità se la norma è la norma euclidea ; ma per il teorema di equivalenza delle norme i limiti sono gli stessi con ogni norma.
Per la diseguaglianza di Cauchy segue
e quindi, definitivamente per , cioè in un
intorno U abbastanza piccolo:
Consideriamo allora una soluzione X(t), con condizione iniziale
X(0) in U. Poiché U è aperto, ci sarà un tempo
tale che almeno per
la soluzione X(t) è
definita e resta in U. Per tale intervallo di tempo esaminiamo il
comportamento della norma:
da cui segue che la norma come funzione del tempo:
soddisfa a
Cambiando norma, dalla norma associata alla base V a quella
euclidea (associata alla base canonica di ), per il teorema
dell'equivalenza delle norme ,
la diseguaglianza appena dimostrata cambia solo per
l'aggiunta di una costante B come nella tesi (b).
Per dimostrare (a) si ricorre al teorema di
continuazione delle soluzioni :
scegliendo come U una palla di centro
e raggio
, la tesi (b) implica che la
soluzione resta in U fino al tempo
, ma il ragionamento può
essere ripetuto continuando la soluzione da
; poiché la
chiusura di U è un compatto contenuto in W, la soluzione può
essere continuata per un tempo arbitrariamente grande.
Ne segue che gli esponenti di Lyapounov determinano
l'andamento delle soluzioni per non solo nel caso
lineare. Per un pozzo nonlineare, le soluzioni non sono direttamente
esprimibili mediante funzioni esponenziali ed altre funzioni
analitiche elementari, ma hanno l'andamento asintotico delle
esponenziali, nel senso del prossimo problema.
Problema
Dimostrare che se è un pozzo (sia lineare che nonlineare), ed
X(t) una soluzione con condizione iniziale abbastanza vicina ad
, allora
esiste finito, ed è pari ad uno degli esponenti di Lyapounov.
Esempio:
Introducendo una variabile velocità angolare si
ottiene il sistema dinamico nonlineare:
I punti di equilibrio sono dati da
per ogni k intero. In questi punti la matrice jacobiana
è:
con equazione caratteristica :
Quindi nei punti di equilibrio con k pari,
cioè i punti di equilibrio con il pendolo verso il basso, il
sistema linearizzato coincide con il pendolo lineare
con dissipazione, e quindi l'equilibrio è asintoticamente stabile. Invece, in un punto di equilibrio con k dispari il sistema linearizzato ha due autovalori reali di segno opposto, cioè è di tipo sella ; come vedremo nella Sezione 3.6, ne segue che questo punto di equilibrio è instabile .
Per poter descrivere il comportamento globale delle orbite di questo sistema dinamico, per esempio mediante un disegno, occorrono informazioni supplementari sul comportamento delle soluzioni con condizioni iniziali lontane dai punti di equilibrio. Questo sarà possibile utilizzando per esempio il metodo della funzione di Lyapounov .
Esercizio Consideriamo l'equazione di Van der Pol :
Provare che l'origine è asintoticamente stabile.
Esercizio Individuare eventuali pozzi e sorgenti del sistema
Un teorema del tutto analogo riguarda il caso della sorgente, cioè quello in cui gli esponenti di Lyapounov sono tutti positivi:
Teorema della sorgente nonlineare :
Sia una sorgente per il sistema dinamico
, definito e
su
, e sia A la
matrice del sistema linearizzato in
.
Se c è un numero reale positivo tale che
ogni autovalore
di A ha parte reale
, esiste un intorno U di
, (
)
tale che:
Dimostrazione: