Sommario Alcuni sistemi dinamici continui hanno degli invarianti, cioè funzioni che si conservano ``lungo'' le soluzioni, al variare del tempo nel flusso integrale. Una funzione che si conserva al passare del tempo è un integrale primo. Altri invarianti sono esprimibili mediante integrali, per esempio l'area. Definizioni analoghe si applicano anche al caso discreto.
Esempio:
che si può tradurre in un sistema
dinamico in 
introducendo una seconda variabile y con
:
Le soluzioni sono tutte della forma
con c,d costanti arbitrarie, che corrispondono alla condizione iniziale :
per cui vale anche:
cioè in forma matriciale:
dove la matrice esprime una rotazione di un angolo 
,
cioè in verso orario se 
.
Questo esempio ha due proprietà speciali:
Definizione:
se E è una
funzione differenziabile su W tale che:
per ogni soluzione, cioè per ogni condizione iniziale 
.
Ogni insieme di livello di E è un insieme invariante .
Esempio:
Calcolando la derivata totale, cioè la derivata di E lungo una soluzione (x(t), y(t)) con la formula usuale di derivazione delle funzioni composte:
a questo punto sostituendo i secondi membri delle equazioni differenziali:
per cui il valore di E resta costante lungo ogni soluzione.
Definizione:
si dice
conservativo
se il suo flusso
integrale per ogni t fisso è una trasformazione di in
sé che conserva l'area (in valore ed in segno, cioè conserva
l'orientazione).
Esempio:
), è conservativo.
Le condizioni per cui questo si verifica sono discusse nel Capitolo 5. La generalizzazione al caso di dimensione >2 viene discussa nel Capitolo 6.
Le definizioni date in questa sezione si possono adattare al
caso discreto, senza difficoltà. Occorre però fare attenzione a
che le definizioni date nel caso continuo, quando si procede ad una
discretizzazione 
, si traducano nelle definizioni del
caso discreto.
Definizione:
se E è una funzione
differenziabile su W tale che:
per ogni soluzione, cioè per ogni condizione iniziale .
Esempio:
:
dove g(y) è una funzione arbitraria, ha E=y come integrale primo.
Definizione:
se la mappa che definisce il sistema dinamico conserva l'area (in
valore ed in segno, cioè conserva l'orientazione).
Esempio:
dove A è una matrice quadrata. Consideriamo il
caso in , cioè con la matrice A di tipo 
; i
vettori della base canonica
vengono trasformati
in 
, 
che coincidono con le colonne di A.
L'area del parallelogramma di lati 
si calcola mediante il
modulo del prodotto vettore:
Perciò se 
il sistema è conservativo.
Si noti che ci sono due casi possibili, qualitativamente molto diversi tra loro: nel primo A è una matrice di rotazione, che quindi ha automaticamente determinante 1, nel secondo:
