4.3 DISCRETIZZAZIONE CONSERVATIVA

 

Sommario Equazioni differenziali di ordine superiore possono essere discretizzate utilizzando diverse approssimazioni per le derivate non solo prime ma anche di ordine superiore. Alcune di queste approssimazioni, come per esempio quella che è equivalente al metodo di Eulero, hanno però delle proprietà qualitative indesiderabili, per esempio modificano le proprietà di stabilità delle soluzioni. Altre approssimazioni sono conservative, cioè se applicate ad un sistema dinamico continuo conservativo producono un sistema dinamico discreto ugualmente conservativo. Non esiste però un metodo che consenta di preservare sempre gli integrali primi del sistema continuo, quindi le discretizzazioni vanno sempre interpretate come approssimazioni anche nel senso qualitativo, perché riproducono in modo imperfetto anche proprietà qualitative come l'integrabilità .

Discretizzazione di ordine superiore

Per approssimare le soluzioni di un'equazione differenziale di ordine superiore al primo con un sistema dinamico discreto si possono seguire due approcci: il più semplice è quello di ridursi ad un sistema dinamico e poi usare una discretizzazione per quest'ultimo, per esempio il metodo di Eulero (oppure altri più accurati come sarà descritto nella Sezione 4.4).

Può essere più conveniente tentare di scrivere direttamente una formula di approssimazione per le derivate di ordine superiore. Queste approssimazioni possono essere scritte in termini di un'algebra di operatori:

Definizione:

Data una funzione f(t) definita per ogni t reale, gli operatori spostamento  



differenza in avanti  



ed identità  :



mandano lo spazio di tali funzioni in sé.

Valgono le relazioni:



e le proprietà di commutazione  , in particolare

Segue immediatamente dalle proprietà di commutazione che si può applicare la formula del binomio di Newton  per calcolare le potenze di : la differenza k-esima in avanti   è

per esempio

Queste formule possono essere impiegate direttamente in approssimazioni discrete delle derivate di ordine superiore, del tipo

Esempio:

Riprendiamo l'oscillatore armonico  come equazione differenziale del secondo ordine



ed usiamo direttamente la discretizzazione della derivata seconda



Si ottiene l'equazione alle differenze finite lineare del secondo ordine





la cui soluzione si calcola usando gli autovalori di A:



Se ne deduce che la matrice A può essere scritta nella forma canonica



Il cambiamento di coordinate che riduce alla forma canonica si può ottenere con il solito metodo a base di autovettori, ma anche con un altro ragionamento. Per definire la successione occorrono due condizioni iniziali, ed . Invece, se si adotta il punto di vista che risulta dalla discretizzazione con il metodo di Eulero dell'equazione ridotta al primo ordine, la condizione iniziale è , con . Adottando la discretizzazione si trova



e in generale, per ogni k, la relazione:



Si può verificare che , cioè che la matrice C è associata al cambiamento di coordinate che riduce A in forma canonica reale. Quindi la discretizzazione diretta della derivata seconda fatta con le differenze in avanti ed il metodo di Eulero applicato al corrispondente sistema dinamico sono la stessa cosa, ed hanno lo stesso inconveniente: la soluzione del sistema dinamico discreto diverge, seguendo un cammino a spirale il cui raggio cresce con k come .

Esercizio Se si usasse una discretizzazione basata sulla differenza all'indietro  :

quali sarebbero le proprietà delle soluzioni della discretizzazione dell'oscillatore armonico? Quale sarebbe il limite della soluzione per ? (Soluzione)

Differenze centrali

Per equazioni differenziali che contengono solo le derivate di ordine pari si può trovare un procedimento di approssimazione che ha proprietà molto migliori, in particolare che non introduce moltiplicatori di Lyapounov spurii come il metodo di Eulero.

Definizione:

Data una funzione f(t) definita per ogni t, l'operatore differenza centrale   è definito da:

Usando le regole di commutazione e il binomio di Newton, si verifica che le potenze pari di non usano ``mezzi passi'', quindi sono definite come operatori su di una successione; per esempio,

Le differenze centrali sono quindi utili per definire una discretizzazione di equazioni senza derivate di ordine dispari, per esempio usando

Esempio:

Riprendiamo la discretizzazione dell'oscillatore armonico  usando le differenze centrali:



da cui il sistema dinamico discreto:



con equazione caratteristica:



(radici reali o complesse secondo il segno del discriminante ). Quindi gli autovalori sono complessi coniugati e di modulo 1 per : in tal caso la soluzione del sistema dinamico discreto si può scrivere come



dove la matrice C ha per colonne la parte reale e la parte complessa di un autovettore di autovalore , ed è una matrice di rotazione, con l'angolo di rotazione ad ogni passo dato da



L'esempio qua sopra mostra che, nel caso di un sistema dinamico continuo dotato di due proprietà importanti come quella di essere conservativo  e di avere un integrale primo , è talvolta possibile costruire una approssimazione discreta che mantiene entrambe le proprietà: infatti le rotazioni che descrivono la soluzione del sistema discreto conservano l'area, e lasciano invariata la funzione energia (la cui espressione è ). Queste proprietà però sono valide solo in un certo sistema di coordinate, definito dal cambiamento di coordinate . Inoltre il problema principale è capire se queste due proprietà possono essere conservate anche in casi non banali, e non solo per equazioni lineari per le quali la discretizzazione non è molto utile, visto che la soluzione è nota esplicitamente.

Mappa standard

Vogliamo generalizzare l'esempio precedente al caso di un qualsiasi sistema newtoniano ad un grado di libertà :

Se usiamo le differenze centrali otteniamo la discretizzazione

Però, per essere in grado di usare le condizioni iniziali occorre trovare una discretizzazione anche per l'equazione . Se usiamo la differenza all'indietro 

si ottiene un sistema dinamico discreto sostituendo

cioè

che in termini di diventa

dividendo per h questa equazione, e aggiungendoci

si trova il sistema dinamico discreto nonlineare

che si indica con il nome di mappa standard   associata al sistema newtoniano .

Teorema della mappa standard :  La mappa standard associata a , con f di classe su un aperto , è conservativa  su .

Dimostrazione:

Possiamo notare che, nelle equazioni che definiscono per ricorrenza la mappa standard, il calcolo della nuova deve essere eseguito prima del calcolo della nuova . Perciò è conveniente spezzare la mappa che definisce il sistema discreto nella composizione di due mappe:



ciascuna delle quali è uno scorrimento  , di una delle due forme



oppure



con a(x), b(y) funzioni .

Ogni scorrimento è un sistema dinamico discreto conservativo : infatti una mappa conserva l'area  se e solo se il determinante jacobiano della trasformazione vale ovunque 1 (segue dal teorema del cambiamento di variabili negli integrali doppi ). Nei due casi la matrice jacobiana è



con determinante comunque uguale ad 1. Poiché la composizione di due trasformazioni che conservano l'area conserva l'area, ne concludiamo che la mappa standard è conservativa.

 C.D.D.

La risposta al quesito se la mappa standard abbia un integrale primo (analogo all'integrale dell'energia  del sistema continuo) è negativa. Per mostrare questo è sufficiente un controesempio:

Esempio:

La mappa standard del pendolo   si ottiene a partire dal sistema newtoniano , cioè dal pendolo  nonlineare conservativo:



Ricordarsi, nel calcolare la mappa, di calcolare prima la seconda equazione e poi la prima.

La mappa è chiaramente periodica di periodo nella variabile x, che può essere interpretata come una variabile angolo . Per semplificare la descrizione delle proprietà rispetto alla variabile y conviene cambiare variabile, rimpiazzando con y:



in modo che la mappa sia periodica di periodo anche rispetto ad y (se y aumenta di , l'incremento di x aumenta di , il che è indifferente perché x è una variabile angolo). In conclusione la mappa può essere interpretata come un diffeomorfismo del toro su se stesso.

 
Figure 4.4:  Mappa standard del pendolo con passo h=0.5; si noti che le soluzioni del sistema discreto non seguono le curve ad energia costante, ma sembrano seguire delle curve regolari distorte. In effetti alcune di queste curve sono biforcate in più ``isole'', come nel caso della condizione iniziale (3,-2); inoltre esiste una traiettoria che sembra seguire entrambi i rami della separatrice. Si veda anche la Figura 9.4.

 
Figure 4.5:  Mappa standard del pendolo con passo h=0.5; un ingrandimento della figura precedente, che mostra una sola orbita del sistema dinamico discreto, con condizione iniziale (3.141,0) molto vicina al punto di sella. È evidente da questa figura che non può esserci un integrale primo.

La mappa standard del pendolo dipende quindi da un solo parametro . Intuitivamente è chiaro che per molto piccolo il sistema discreto approssimerà il sistema continuo, e quindi la funzione energia cambierà di poco ad ogni passo, e la successione si muoverà quasi lungo le curve di livello di E, cioè vicino alla soluzione del sistema continuo. Invece, per grande il sistema discreto non avrà niente a che fare con il sistema continuo: per esempio, per il punto di equilibrio nell'origine diventa instabile, come risulta dall'analisi della discretizzazione del pendolo lineare.

 
Figure 4.6:  Mappa standard del pendolo con passo h=1; la regione caotica occupa gran parte del toro, una regione apparentemente regolare corrisponde alle oscillazioni a piccola ampiezza, e appaiono molte isole di risonanza.

Per osservare che cosa succede per valori intermedi di , osserviamo le orbite della mappa standard per i valori (Figura 4.4) e (Figura 4.6).

Per valori relativamente piccoli di , come nella Figura 4.4, sembra quasi che il sistema dinamico discreto ammetta un integrale primo, anche se con le curve di livello distorte rispetto a quelle della funzione energia del corrispondente sistema dinamico continuo. Ma se si guarda più in dettaglio, per esempio ingrandendo la figura, si nota che il comportamento qualitativo delle orbite del sistema dinamico discreto è molto diverso, ed in particolare alcune curve invarianti scompaiono: questi fenomeni di caos  si verificano in modo più appariscente vicino alle separatrici  che escono dal punto di sella (Figura 4.5), ma sono presenti anche vicino alle separatrici delle isole di risonanza .

Per valori più grandi di , come in Figura 4.6, l'illusione che la mappa standard possa avere un integrale primo scompare del tutto. Per questo valore ( ) l'ultima curva invariante corrispondente ad una circolazione è scomparsa, e le orbite caotiche possono muoversi liberamente lungo tutto l'asse y. Si veda la discussione nel Capitolo 9.

Problema Si consideri il problema dei due corpi , cioè il sistema newtoniano di dimensione 1

dove GN>0 e c sono costanti. Si costruisca la mappa standard del problema dei due corpi  , e se ne studi il comportamento al variare del passo h.

Suggerimento: Nel caso continuo, tutte le orbite limitate sono periodiche, con periodi che dipendono solo dall'integrale dell'energia ; ponendo

le orbite sono periodiche per E<0, ed il periodo è tanto più grande quanto l'energia si avvicina a 0 (per la terza legge di Keplero ). Per E>0 le orbite vanno all'infinito. Quindi E=0 è una separatrice. Nel problema discretizzato la separatrice si trasforma in una regione caotica, tanto più ampia quanto più lungo è il passo h.