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7.1 PROBLEMA DEI DUE CORPI

 

Sommario Il moto di corpi nello spazio è storicamente il problema intorno al quale si è sviluppata la meccanica moderna (ed anche gran parte della matematica moderna, come il calcolo differenziale). Nel caso in cui due soli corpi puntiformi interagiscono mediante una forza centrale, il problema è integrabile, perché possiede gli integrali del centro di massa, del momento angolare e dell'energia. Se in particolare la forza attrattiva è inversamente proporzionale al quadrato delle distanze, le orbite sono esprimibili come sezioni coniche, e le variabili azione-angolo sono calcolabili esplicitamente in termini finiti: i passaggi sono tutti esplicitamente analitici, ad eccezione di una inversione, l'equazione di Keplero.

Per problema dei due corpi   intendiamo la descrizione del moto di due corpi puntiformi  sotto l'azione della sole forze di interazione dei due corpi stessi, che si suppongono forze centrali  per le quali valga la legge di azione e reazione .

Se indichiamo le posizioni dei due corpi con tex2html_wrap_inline43742 e le loro masse con tex2html_wrap_inline43744 , la lagrangiana  sarà

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dove V è l'energia potenziale  dell'interazione e tex2html_wrap_inline45176 la distanza. Le equazioni di Lagrange  sono

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Questo problema appare complicato perché ha dimensionalità elevata: in effetti è un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline45180 . Tuttavia il sistema è integrabile  nel senso del teorema di Arnold-Jost , perché ha un numero sufficiente di integrali primi . Utilizzando questi integrali primi, ridurremo gradualmente il problema fino ad un solo grado di libertà.

Riduzione alla forza centrale

La prima riduzione del problema è resa possibile dalla legge di azione e reazione

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che permette di ricavare per il centro di massa 

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l'equazione di moto

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Perciò possiamo ridurre il problema ad un sistema dinamico in tex2html_wrap_inline43446 nel modo seguente. Consideriamo il vettore di posizione relativa del secondo corpo rispetto al primo, e ricaviamo le equazioni di moto per differenza: da

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si ottiene

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poiché le derivate parziali di V(r) rispetto alle coordinate tex2html_wrap_inline39330 sono l'opposto di quelle rispetto alle coordinate di tex2html_wrap_inline39342 .

Una soluzione del sistema dinamico in tex2html_wrap_inline45180 , con condizione iniziale 

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si otterrà a partire da una soluzione del sistema dinamico in tex2html_wrap_inline43446 con condizioni iniziali tex2html_wrap_inline45206 e da una soluzione dell'equazione di moto del cento di massa: data la curva P(t) e dato tex2html_wrap_inline45210 ,

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è la soluzione del problema originario.

La stessa riduzione si può derivare dal formalismo lagrangiano, considerando la trasformazione

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come un cambiamento di coordinate; per la covarianza delle equazioni di Lagrange  per scrivere le equazioni di moto per tex2html_wrap_inline45216 basta esprimere la lagrangiana nelle nuove coordinate. Poiché

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sostituendo nella lagrangiana originaria si ottiene

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La lagrangiana  nelle nuove coordinate non solo è ciclica nelle coordinate di tex2html_wrap_inline43954 (onde gli integrali primi che sono i momenti coniugati, cioè le componenti della quantità di moto  del baricentro tex2html_wrap_inline45226 ), ma è somma di una funzione della sola tex2html_wrap_inline45228 e di una funzione di tex2html_wrap_inline45230 , perciò i due gruppi di variabili hanno dinamiche  del tutto disaccoppiate. Il moto del centro di massa è governato dalla lagrangiana del moto libero

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mentre il moto relativo è governato dalla lagrangiana ridotta

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che è quella del problema della forza centrale  in cui al corpo fittizio P è attribuita (dal formalismo lagrangiano) la massa ridotta  , cioè la media armonica   delle due masse:

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Poiché il fattore moltiplicativo tex2html_wrap_inline45240 non influisce sulla dinamica, si può considerare come lagrangiana ridotta

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le cui equazioni di Lagrange sono esattamente le equazioni di moto per P che abbiamo ottenuto per differenza. Per semplificare la notazione indichiamo l'energia potenziale riscalata con W(r):

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Momento angolare

Poiché la lagrangiana del problema dei due corpi è simmetrica rispetto alle rotazioni, per il teorema di Noether  le equazioni di moto avranno un vettore di integrali primi, che si può interpretare come momento angolare . Il momento angolare totale è, nel riferimento originario del problema dei due corpi,

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se si passa al riferimento tex2html_wrap_inline45216 del moto relativo e del centro di massa, e si applica alla lagrangiana tex2html_wrap_inline45254 il teorema di Noether, si trova, con formula del tutto simile, il vettore di integrali primi

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Il primo termine rappresenta il contributo del centro di massa al momento angolare, il secondo è il momento angolare calcolato in un riferimento avente l'origine in tex2html_wrap_inline43954 .

Si può verificare per sostituzione che tex2html_wrap_inline45260 e tex2html_wrap_inline45262 rappresentano lo stesso vettore, cioè sono funzioni che si corrispondono per valore  nei due sistemi di riferimento. Questa proprietà, legata al fatto che nelle nuove coordinate l'energia cinetica  è ancora espressa per mezzo di una matrice diagonale, si generalizza ad un sistema di coordinate dette ``jacobiane'': cfr. [Milani-Nobili 83].

Facendo la consueta economia di termini e fattori costanti, possiamo considerare il momento angolare ridotto

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e verificare che è un integrale primo: tex2html_wrap_inline45266 , dove il primo termine è identicamente nullo ed il secondo si annulla perché l'accelerazione ha direzione radiale. Ne segue che la posizione P(t) del moto relativo, ed anche la velocità tex2html_wrap_inline45270 , giacciono per ogni t in un piano perpendicolare al vettore momento angolare. Quindi, se si sceglie un sistema di coordinate di tex2html_wrap_inline40050 tale che l'asse z sia lungo C (e con lo stesso verso), le equazioni di moto relative alla coordinata z sono semplicemente tex2html_wrap_inline45282 , ed hanno soluzione tex2html_wrap_inline45284 . Possiamo quindi considerare tex2html_wrap_inline45286 , ed il sistema dinamico in tex2html_wrap_inline36342 .

L'impiego dei tre integrali primi corrispondenti alle componenti del momento angolare ha consentito di ridurre lo spazio delle fasi da tex2html_wrap_inline43446 ad tex2html_wrap_inline36342 : poiché l'insieme invariante  definito in tex2html_wrap_inline43446 da tre equazioni indipendenti è una varietà di dimensione 3, si capisce che gli integrali del momento angolare non sono stati ancora sfruttati in pieno. In effetti è stata utilizzata solo la direzione del vettore C, non la sua lunghezza, che comparirà ancora come integrale primo nel problema piano.

Il problema nel piano dell'orbita

Per risolvere il problema ridotto al piano conviene passare alle coordinate polari  tex2html_wrap_inline44442 nel piano dell'orbita. La lagrangiana si trasforma  in

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e si ottiene immediatamente un integrale primo, cioè il momento tex2html_wrap_inline43334 coniugato alla variabile ciclica tex2html_wrap_inline35456

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da qui si può ricavare tex2html_wrap_inline35456 per quadratura , una volta che sia noto r(t), usando

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Questa formula va generalmente sotto il nome di legge delle aree  , o seconda legge di Keplero  : infatti la costante tex2html_wrap_inline45316 coincide (a meno del un fattore 2) con la derivata rispetto al tempo dell'area ``spazzata dal raggio vettore", cioè dell'area

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dunque le aree spazzate dal raggio vettore sono proporzionali ai tempi.

Sostituendo la costante c nella lagrangiana si ottiene la lagrangiana  ad un grado di libertà:

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Per concludere sull'integrabilità del problema dei due corpi, non resta che applicare la trasformazione di Legendre tex2html_wrap_inline44572 e trovare la hamiltoniana

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che fornisce l'ultimo integrale primo. Il problema dei due corpi è dunque integrabile, mediante quadrature ed inversioni (che sono utilizzate per risolvere il sistema hamiltoniano ad un grado di libertà, e per trovare la legge oraria tex2html_wrap_inline45328 ) e mediante espressioni analitiche esplicite (per tutti gli altri passaggi).

Lo studio qualitativo delle soluzioni si ottiene dallo studio dell'energia potenziale effettiva 

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ed in particolare dalle proprietà degli insiemi dei valori di r per cui tex2html_wrap_inline45334 ; per esempio se si ottiene un intervallo tex2html_wrap_inline45336 con tex2html_wrap_inline45338 ne risultano orbite limitate, che non vanno né all'infinito, né alla collisione r=0.

Gli integrali classici

Facciamo ordine nell'insieme degli integrali primi del problema dei due corpi. Dal problema ridotto si deduce l'integrale dell'energia ridotta, che naturalmente è legato a quello dell'energia totale  tex2html_wrap_inline45342 :

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dove tex2html_wrap_inline45350 è l'energia del moto libero del centro di massa ed E l'energia ridotta  .

Anche l'integrale tex2html_wrap_inline43306 è legato al vettore momento angolare: poiché infatti la componente della velocità in direzione radiale non contribuisce al momento angolare, e la componente trasversale è tex2html_wrap_inline45356 , si ha

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purché il sistema di riferimento sia stato scelto in modo che tex2html_wrap_inline38554 .

In conclusione, il problema dei due corpi ha sette integrali indipendenti dal tempo: tre componenti della quantità di moto, tre componenti del momento angolare, e l'energia totale. Il teorema di Arnold-Jost  non si può applicare direttamente, perché gli insiemi di livello non sono compatti (se la quantità di moto è diversa da tex2html_wrap_inline36112 , le orbite sono illimitate); però i tre integrali della quantità di moto possono essere impiegati per eliminare le sei variabili tex2html_wrap_inline45364 m, anche con l'aiuto dei tre integrali primi dipendenti dal tempo tex2html_wrap_inline45366 .

Il problema ridotto ha tre gradi di libertà e i quattro integrali E, C, che tuttavia non sono in commutazione. Da questi si possono estrarre tre integrali primi in commutazione: tex2html_wrap_inline45370 : in primo luogo tex2html_wrap_inline45372 perché sono integrali primi; inoltre con un calcolo non banale si può mostrare che tex2html_wrap_inline45374 . Infatti in coordinate polari sferiche  tex2html_wrap_inline44518

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quindi la loro parentesi di Poisson è

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Perciò il sistema ridotto, con tre gradi di libertà e tre integrali in commutazione, è del tipo descritto dal teorema di Arnold-Jost ; resta da vedere dove i gradienti dei tre integrali primi sono indipendenti, e quali insiemi di livello sono compatti. Questo dipenderà dalla forma dell'energia potenziale W(r), e quindi dell'energia potenziale effettiva K(r).

  figure19665
Figure 7.1:  Le quattro figure mostrano: il potenziale effettivo in funzione del raggio; una curva di livello dell'energia nel piano del momento e della coordinata r; la traiettoria in coordinate polari (raggio r ed angolo, ricavato per quadratura rispetto alla variabile r); la traiettoria in coordinate cartesiane, per il tratto compreso tra il raggio minimo e massimo. Si noti che l'angolo tra la posizione al pericentro e quella all'apocentro non è un angolo piatto: la traiettoria non si richiude al prossimo passaggio al pericentro.

Se per esempio K(r) tende a tex2html_wrap_inline39002 per tex2html_wrap_inline38490 , per ogni valore E dell'energia totale ci sarà un valore minimo tex2html_wrap_inline44498 tale che tex2html_wrap_inline45402 , mentre K(r)>E per tex2html_wrap_inline45406 . Allora calcoliamo l'inversa della legge oraria: risolvendo l'equazione dell'energia tex2html_wrap_inline45408 rispetto a tex2html_wrap_inline44466 si trova

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da cui, essendo tex2html_wrap_inline44572 ,

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dove tex2html_wrap_inline38944 è il tempo al quale l'orbita passa al pericentro   (ovvero dal punto in cui tex2html_wrap_inline45420 ).

Invece la dipendenza di tex2html_wrap_inline35456 dal tempo si può ricavare da un'altra quadratura : poiché tex2html_wrap_inline45424 ,

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dove tex2html_wrap_inline45428 è l'argomento del pericentro   (ovvero la direzione del punto in cui tex2html_wrap_inline45420 ). Se ci si limita ad un intervallo di valori di t nel quale la relazione tra t ed r è monotona, allora si può cambiare variabile nella quadratura sostituendo dt con tex2html_wrap_inline45440 , ottenendo

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Se l'energia potenziale effettiva K(r) ha un punto stazionario tex2html_wrap_inline45446 , in cui tex2html_wrap_inline45448 , allora esiste una soluzione con tex2html_wrap_inline45450 costante e tex2html_wrap_inline45452 costante, cioè un'orbita circolare; il valore del raggio tex2html_wrap_inline45446 dell'orbita circolare dipende solo dal valore del momento angolare c.

Infine, se l'energia potenziale W(r) tende a 0 per tex2html_wrap_inline45460 (come è ragionevole immaginare per un'interazione fisicamente possibile), altrettanto fa l'energia potenziale effettiva K(r), e si avranno due casi ben distinti:

Problema dei due corpi gravitazionale

Il problema dei due corpi gravitazionale si ottiene specificando nel problema dei due corpi trattato fin qui la legge della forza proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Allora l'energia potenziale gravitazionale risulta

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La proporzionalità dell'energia potenziale a entrambe le masse, e con una costante di proporzionalità G che è universale (cioè non dipende dalla composizione né da alcun altra proprietà dei corpi) deriva dall'equivalenza della massa inerziale con la massa sorgente del campo gravitazionale, ed è uno dei principi fondamentali della gravitazione newtoniana (e anche di quella einsteiniana).

L'energia potenziale riscalata è quindi

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che corrisponde all'energia potenziale di un corpo di massa unitaria nel campo gravitazionale di un corpo con massa pari alla massa totale tex2html_wrap_inline45494 ; la hamiltoniana è

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ed il momento coniugato ad r

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Allora la relazione tra tex2html_wrap_inline35456 ed r si può ricavare dalla quadratura

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dove si intende che tex2html_wrap_inline45508 corrisponde ad tex2html_wrap_inline45510 . I possibili valori tex2html_wrap_inline44498 del raggio al pericentro si possono ricavare dall'equazione

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con soluzioni

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per E>0 le soluzioni sono reali e di segno discorde, per cui esiste un pericentro tex2html_wrap_inline44498 ma la traiettoria non è limitata; anche per E=0 la soluzione è illimitata; per E<0, infine, le soluzioni sono entrambe reali e positive purché

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Poiché l'espressione qui sopra ricorrerà frequentemente, introduciamo la notazione

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valida per tex2html_wrap_inline35200 (cioè sempre se tex2html_wrap_inline45478 , e per valori opportuni di c se E<0). La lettera e in questo capitolo non indica il numero di Nepero, ma l'eccentricità   di Keplero, la cui interpretazione geometrica sarà chiara tra poco.

Limitiamoci quindi a considerare il caso tex2html_wrap_inline45540 . La quadratura che fornisce tex2html_wrap_inline35456 in funzione di r può essere eseguita analiticamente, contenendo la radice di un polinomio di secondo grado: sostituendo u=1/r come variabile di integrazione

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Il polinomio di secondo grado sotto radice ha radici reali perché il suo discriminante è ancora lo stesso tex2html_wrap_inline35216 che abbiamo supposto maggiore di zero. Perciò l'integrale si calcola con la sostituzione

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notando anche che il valore tex2html_wrap_inline45554 corrisponde ad tex2html_wrap_inline44498 , dove la radice si annulla, si ha che

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  figure19737
Figure 7.2:  Le quattro figure mostrano, per il problema dei due corpi gravitazionale: il potenziale effettivo in funzione del raggio; una curva di livello dell'energia nel piano del momento e della coordinata r; la traiettoria nel piano delle coordinate polari, cioè l'angolo, ricavato per quadratura rispetto alla variabile r, ed il raggio; la traiettoria in coordinate cartesiane, per il tratto compreso tra il raggio minimo e massimo. L'angolo tra il pericentro e l'apocentro è esattamente un angolo piatto (a meno del piccolo errore introdotto nella quadratura numerica), quindi la traiettoria si richiude al prossimo passaggio al pericentro e l'orbita è periodica.

Invertendo l'arcocoseno, e ricordando le definizioni di tex2html_wrap_inline45106 ed u, si trova

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e, ricavando r in funzione di tex2html_wrap_inline35456 ,

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Questa formula vale per ogni valore degli integrali primi E e c, purché non sia negativa l'espressione di tex2html_wrap_inline45580 , e rappresenta la prima legge di Keplero  : le traiettorie del problema dei due corpi gravitazionale sono sezioni coniche. Se infatti si considera un sistema di coordinate tale che tex2html_wrap_inline45582 , ossia tale che l'asse x abbia la direzione del pericentro e che l'asse y stia nel piano orbitale, troviamo

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che è un'ellisse per 0<e<1, una parabola per e=1, una circonferenza per e=0, un'iperbole per e>1. In ogni caso, un fuoco è nell'origine; nel caso iperbolico la traiettoria occupa solo il ramo dell'iperbole più vicino al all'origine.

Le dimensioni delle sezioni coniche su cui giacciono le traiettorie si possono dedurre dai valori minimi e massimi (se esistono) del raggio r. Il minimo corrisponde a tex2html_wrap_inline45600 ; perciò l'angolo tex2html_wrap_inline45428 è l'argomento del pericentro  e si indica tradizionalmente con la lettera tex2html_wrap_inline35724 . Per e<1, il massimo corrisponde per tex2html_wrap_inline45608 ; l'asse maggiore dell'ellisse è la somma del raggio massimo con il raggio minimo

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ovvero

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con distanza al pericentro  a(1-e) e all'apocentro  a(1+e). La lunghezza a si chiama semiasse maggiore   dell'orbita ellittica. Il semiasse minore dell'ellisse è tex2html_wrap_inline45620 .

La formula che lega il momento angolare al semiasse maggiore

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si può considerare valida anche nel caso iperbolico, pur di ammettere valori negativi per a. Nel caso parabolico non si può definire un semiasse maggiore, e si usa il parametro tex2html_wrap_inline45626 che corrisponde al doppio della distanza al pericentro.

Un'altra relazione importante è quella tra energia e semiasse maggiore. Sostituendo la formula per c in funzione di a,e dentro la formula dell'eccentricità in funzione di E,c, si ricava

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per cui l'integrale dell'energia dipende solo dal semiasse maggiore, e viceversa.

Per E<0, e 0<e<1, cioè per le orbite ellittiche, il raggio ha valore massimo ed uno minimo, che sono le due radici (reali e positive) di H(0,r,c)=E. Nel passare dal minimo al massimo di r, l'angolo tex2html_wrap_inline35456 aumenta di esattamente tex2html_wrap_inline45646 (perché coincide con l'integrale dell'arcoseno sull'intero intervallo su cui la radice è tex2html_wrap_inline44852 ). Quando l'orbita ritorna di nuovo al valore minimo di r, l'angolo tex2html_wrap_inline35456 è aumentato di tex2html_wrap_inline36896 , per cui l'orbita passa da tex2html_wrap_inline45656 , cioè dallo stesso punto. In tale punto i valori delle derivate sono determinati dagli integrali primi E,c: infatti tex2html_wrap_inline45660 e tex2html_wrap_inline45662 , perciò la soluzione ripassa dalla stessa condizione iniziale ed è un'orbita periodica . Quindi tutte le condizioni iniziali con E<0 (un aperto nello spazio delle fasi) corrispondono ad orbite periodiche.

Per comprendere l'eccezionalità di questo risultato, si può citare il teorema di Bertrand  , per il quale i soli sistemi governati da forze centrali con energia potenziale V(r) analitica reale, per i quali esistano orbite periodiche che riempiono un aperto nello spazio delle fasi, sono o oscillatori armonici con tex2html_wrap_inline45668 o modelli del problema dei due corpi gravitazionale con tex2html_wrap_inline45670 . Per un cenno di dimostrazione del teorema di Bertrand si veda [Arnold 86], Capitolo 2.

Per calcolare il periodo delle orbite ellittiche, si può utilizzare la legge delle aree: l'area A spazzata dal raggio vettore durante un intervallo di tempo pari ad un periodo P è l'area dell'ellisse tex2html_wrap_inline45676

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da cui, usando la relazione tra c ed a,e, si ricava la terza legge di Keplero  :

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  figure19781
Figure 7.3:  Nel piano (E,c) le orbite circolari stanno sulla curva che fa da frontiera tra la regione dove non è soddisfatta la condizione di realtà (per cui non ci sono soluzioni con quei valori di E,c) e quella delle orbite ellittiche; le orbite paraboliche E=0 separano le orbite ellittiche da quelle iperboliche. Dal punto di vista del teorema di Arnold-Jost, per E<0 ma e>0 si hanno dei tori invarianti perché le soluzioni hanno raggi limitati sia dal di sopra che dal di sotto, per e=0 i tori invarianti degenerano in circonferenze e per E non negativa le soluzioni sono illimitate e le varietà invarianti sono cilindri. Il caso c=0 corrisponde ad orbite con collisioni, e va trattato a parte.

La frequenza propria  è il moto medio  

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Si noti che il periodo (quindi anche il moto medio) non dipende dall'eccentricità. Poiché il semiasse maggiore dipende solo dall'energia, anche il periodo dipende solo dall'integrale dell'energia, non da quello del momento angolare.

Elementi orbitali

Per descrivere le soluzioni del problema dei due corpi in tex2html_wrap_inline40050 conviene introdurre il vettore di Laplace-Lenz  

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dove tex2html_wrap_inline45712 è il vettore momento angolare ridotto, in coordinate relative tex2html_wrap_inline45714 . Il secondo addendo è il versore radiale tex2html_wrap_inline45716 ; se usiamo il sistema di riferimento ortonormale mobile definito da tex2html_wrap_inline45718 , tex2html_wrap_inline45720 nel piano orbitale ed tex2html_wrap_inline45722 (con l'orientazione di tex2html_wrap_inline45720 tale che tex2html_wrap_inline45726 ), valgono le seguenti regole di derivazione:

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Possiamo quindi calcolare la derivata totale del vettore di Laplace-Lenz

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e, sostituendo l'espressione dell'accelerazione in funzione inversamente proporzionale al quadrato della distanza, oltre che la formula tex2html_wrap_inline45732 , si ottiene

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Poiché tex2html_wrap_inline45736 , la derivata totale è nulla: quindi le tre componenti del vettore di Laplace-Lenz sono integrali primi del moto. L'interpretazione geometrica di questo vettore di integrali primi è semplice: chiamiamo anomalia vera   f l'angolo tra L e P (visto da C), per il quale vale

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Allora

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ed il confronto con la formula del raggio in funzione dell'angolo nel piano orbitale consente di concludere che |L|=e ed tex2html_wrap_inline45752 , ossia il vettore di Laplace-Lenz giace nel piano orbitale, indica la direzione del pericentro ed ha lunghezza pari all'eccentricità .

  figure19807
Figure 7.4:  Degli elementi orbitali che descrivono un'orbita kepleriana, tre sono angoli di Eulero che descrivono l'orientazione nello spazio, mentre semiasse maggiore ed eccentricità descrivono la forma e le dimensioni della traiettoria.

Un'orbita del problema dei due corpi (ridotto al moto relativo) sarà descritta da tre angoli:

In definitiva, l'orbita viene individuata da sei elementi orbitali  : gli angoli di Eulero  tex2html_wrap_inline45780 , gli elementi a,e e l'angolo f; i primi 5 sono indipendenti dal tempo, cioè sono tutti integrali primi, mentre f=f(t) può essere calcolato per quadratura da tex2html_wrap_inline45788 .

Variabili di Delaunay

Il problema dei due corpi gravitazionale, ridotto al moto relativo, ha tre gradi di libertà e tre integrali primi in commutazione tex2html_wrap_inline45370 . Usiamo le coordinate polari sferiche  per calcolare questi tre integrali: l'integrale dell'energia ridotta è la hamiltoniana (per unità di massa)

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La componente z del momento angolare in queste coordinate è semplicemente tex2html_wrap_inline43662 , mentre il momento angolare scalare è

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Usando queste espressioni possiamo verificare le ipotesi del teorema di Arnold-Jost . I gradienti di questi integrali primi sono

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affinché siano linearmente indipendenti basta imporre che non accada mai simultaneamente che tex2html_wrap_inline45804 e tex2html_wrap_inline45806 (per evitare che tex2html_wrap_inline40832 sia parallelo a tex2html_wrap_inline45810 , e anche a tex2html_wrap_inline45812 ) e che non sia mai simultaneamente tex2html_wrap_inline45814 e tex2html_wrap_inline43698 (per evitare che tex2html_wrap_inline45810 sia parallelo a tex2html_wrap_inline45812 ).

Poiché tex2html_wrap_inline45822 , la condizione tex2html_wrap_inline45824 può verificarsi solo per un'orbita circolare. La condizione tex2html_wrap_inline45814 accompagnata da tex2html_wrap_inline45828 implica che tex2html_wrap_inline35456 sia sempre 0, cioè che sia nulla l'inclinazione I; in questo caso si avrebbe tex2html_wrap_inline45834 . Perciò, per orbite con I> 0 e con e>0 i tre gradienti sono linearmente indipendenti, cioè i tre integrali sono funzionalmente indipendenti.

Anche la condizione di compattezza è facile da verificare. Consideriamo l'insieme di livello tex2html_wrap_inline45840 nello spazio delle fasi di coordinate tex2html_wrap_inline45842 ; non dimentichiamo che tex2html_wrap_inline36040 è una variabile angolo, e che tex2html_wrap_inline45846 , per cui tex2html_wrap_inline36040 e tex2html_wrap_inline35456 sono sempre limitate. H è una forma quadratica definita positiva nei momenti, quindi ciascuno di essi è limitato su H=E e quindi su tex2html_wrap_inline45840 . Se il momento angolare c è diverso da zero, allora il raggio r non può annullarsi; si tratta di verificare se il raggio è limitato, e se questo è vero, allora l'insieme tex2html_wrap_inline45840 è limitato e chiuso , quindi compatto .

Dall'integrale dell'energia H=E, considerando anche fissato il valore del momento angolare scalare c, si trova l'equazione per il momento tex2html_wrap_inline44466

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che, come abbiamo già visto, ha soluzioni per r compreso tra un massimo ed un minimo quando E<0: in effetti tex2html_wrap_inline45876 , dove a,e sono funzioni di E,c.

Consideriamo allora il dominio di Delaunay  , che è l'aperto dello spazio delle fasi in cui E<0, I>0, e>0. Nel dominio di Delaunay valgono, per il problema dei due corpi gravitazionale, tutte le ipotesi del teorema di Arnold-Jost, quindi esistono delle variabili azione-angolo 

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tali che ogni insieme di livello tex2html_wrap_inline45840 è un toro  a tre dimensioni tex2html_wrap_inline45892 , su cui le azioni tex2html_wrap_inline45894 sono costanti, e gli angoli tex2html_wrap_inline45896 forniscono una carta coordinata.

Si potrebbero usare gli integrali di linea della dimostrazione del teorema di Arnold-Jost per trovare l'espressione delle variabili azione; i calcoli relativi sarebbero molto simili a quelli già fatti nella Sezione 6.5 per integrare il problema della forza centrale mediante separazione di variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi . Poiché però conosciamo già la soluzione del problema dei due corpi, e la sua descrizione mediante elementi orbitali, possiamo procedere in modo più rapido. Possiamo dedurre direttamente dalle proprietà delle variabili azione-angolo le relazioni tra queste e gli elementi orbitali.

Poiché tex2html_wrap_inline36040 è una variabile ciclica, tex2html_wrap_inline43402 può essere scelta come una delle variabili azione, supponiamo che sia tex2html_wrap_inline45902 . La relazione di commutazione

displaymath45904

indica che tex2html_wrap_inline45906 è l'integrale primo associato, per il teorema di Noether , al gruppo di simmetrie che si ottiene ruotando attorno all'asse z. Tra gli elementi orbitali, la longitudine del nodo tex2html_wrap_inline45768 ha la proprietà che una traslazione lungo l'asse tex2html_wrap_inline45768 corrisponde ad una rotazione dell'orbita attorno all'asse z. Quindi tex2html_wrap_inline45916 è la variabile coniugata ad tex2html_wrap_inline45918 .

Lo stesso ragionamento applicato all'integrale c conduce a scegliere tex2html_wrap_inline45922 e ad individuare come variabile angolo coniugata l'argomento del pericentro tex2html_wrap_inline45924 ; infatti

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indica che la hamiltoniana è invariante rispetto a rotazioni nel piano orbitale, cioè con asse C. Tali rotazioni sono realizzate traslando lungo l'asse tex2html_wrap_inline35724 , cioè ruotando l'ellisse con direzione del pericentro controllata da tex2html_wrap_inline35724 .

Resta da identificare la coppia di variabili azione-angolo tex2html_wrap_inline45934 . La hamiltoniana come funzione delle variabili azione-angolo non soltanto non dipende dalle tex2html_wrap_inline45896 , ma dipende soltanto da tex2html_wrap_inline45938 : infatti tex2html_wrap_inline35724 ed tex2html_wrap_inline45768 sono costanti, e le relative frequenze proprie sono nulle:

displaymath45944

Allora la frequenza propria  relativa all'angolo tex2html_wrap_inline45946 sarà

displaymath45948

ed il periodo dell'orbita periodica sarà tex2html_wrap_inline45950 . Qui n=n(E) è il moto medio , la cui dipendenza dal semiasse maggiore - e quindi anche dall'energia - ci è nota dalla terza legge di Keplero :

displaymath45954

Eguagliando queste due espressioni di n, si ottiene l'equazione differenziale a variabili separabili per la funzione tex2html_wrap_inline45958

displaymath45960

la cui soluzione è

displaymath45962

Quanto alla variabile tex2html_wrap_inline45964 , sappiamo solo che è un angolo e che cambia con il tempo in modo lineare, con frequenza n; poiché possiamo scegliere un'origine arbitraria sull'asse tex2html_wrap_inline45964 , possiamo imporre che tex2html_wrap_inline45964 coincida con l'anomalia media  , un angolo tex2html_wrap_inline36562 che coincide con l'anomalia vera  al pericentro (cioè quando vale 0, e per ragioni di simmetria anche quando vale tex2html_wrap_inline45646 ) ma che cambia linearmente con il tempo, in modo da avere lo stesso periodo.

In conclusione si possono costruire come variabili azione-angolo del problema dei tre corpi gravitazionale le variabili di Delaunay  , le cui espressioni in funzione degli elementi orbitali sono le seguenti:

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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997