5.1 SISTEMI NEWTONIANI E HAMILTONIANI

 

Sommario I sistemi hamiltoniani generalizzano quelli newtoniani, ma sono caratterizzati dalla presenza di un integrale primo. Perciò nel caso di un solo grado di libertà la descrizione qualitativa delle soluzioni richiede soltanto lo studio di una funzione di due variabili, come nel caso newtoniano. Inoltre un sistema dinamico hamiltoniano è conservativo.

Sistemi newtoniani

Consideriamo un sistema newtoniano ad un grado di libertà 

con energia cinetica, energia potenziale ed energia totale:

Le equazioni del sistema dinamico corrispondente possono essere espresse in termini delle derivate dell'energia totale:

Sistemi hamiltoniani

Questa forma delle equazioni si può generalizzare ad una qualsiasi funzione di due variabili, detta hamiltoniana   H(p,q): le equazioni di Hamilton   definite da H(p,q) sono quelle del sistema dinamico continuo

Ogni sistema dinamico che si può porre in questa forma si dice sistema hamiltoniano ad un grado di libertà  .

Proprietà:

In un sistema dinamico definito da equazioni di Hamilton a partire da una funzione hamiltoniana H(p,q) (indipendente dal tempo), la hamiltoniana stessa è un integrale primo .

Infatti la derivata totale  di H è



Se consideriamo il campo vettoriale gradiente definito dalla funzione hamiltoniana, esso è in ogni punto perpendicolare al campo vettoriale che forma il secondo membro delle equazioni di Hamilton. Le regole dei segni sono tali che il campo vettoriale si ottiene dal gradiente mediante una rotazione di (in senso antiorario).

Un modo più sintetico di scrivere le equazioni di Hamilton fa uso della matrice di tipo già utilizzata come unità immaginaria nella rappresentazione matriciale dei numeri complessi (nella Sezione  2.4):

per cui si può riscrivere la derivata totale di H(p,q) come

che si annulla perché una matrice antisimmetrica definisce una forma quadratica nulla. Più in generale, data una qualunque funzione G(p,q), la sua derivata totale si può descrivere con lo stesso metodo:

dove il simbolo rappresenta la parentesi di Poisson  che ha la proprietà di antisimmetria .

Esempi di sistemi hamiltoniani

Esempio:

Se , allora il sistema dinamico definito dalle equazioni di Hamilton è



ossia, se si definisce la variabile complessa z=p+Jq,



Il flusso integrale è dato dalle rotazioni di un angolo , cioè in verso positivo (antiorario) se . Si noti che il verso di rotazione è opposto a quello che si ottiene per l'oscillatore armonico  , se la complessificazione del problema viene eseguita nel modo abituale per l'oscillatore armonico forzato , cioè .

Esempio:

Una funzione hamiltoniana H(p,q)=T(p) produce un sistema dinamico



la cui soluzione con condizioni iniziali è semplicemente



La hamiltoniana H(p,q)=V(q) produce



la cui soluzione con condizioni iniziali è semplicemente



In entrambi i casi, il flusso integrale è costituito soltanto da scorrimenti .

I metodi simplettici a scorrimento , metodi di integrazione numerica che approssimano un sistema hamiltoniano con H(p,q)=T(p)+V(q) mediante composizione di scorrimenti, in sostanza alternano propagazioni della soluzione di H(p,q)=T(p) con propagazioni della soluzione di H(p,q)=V(q).

Esempio:

Per un corpo puntiforme di massa  m, libero di muoversi lungo una retta con coordinata q, l'energia cinetica  è data da ; se l'energia potenziale  è V(q), si può descrivere il moto mediante le equazioni di Hamilton con hamiltoniana



in cui il momento   p è definito dalla seconda equazione, cioè .

Poiché la funzione hamiltoniana è un integrale primo, lo studio qualitativo del sistema dinamico è in sostanza lo stesso di quello del sistema newtoniano ad un grado di libertà con mf(q)=-dV/dq, a parte il cambiamento di scala .

Strettamente parlando c'è un'altra differenza tra i due sistemi dinamici: nel sistema dinamico definito dalle equazioni di Hamilton la prima variabile è p e la seconda è q, quindi c'è un cambiamento di orientazione, che viene introdotto per ragioni di convenienza (per esempio, per far ruotare le soluzioni dell'oscillatore armonico in verso positivo).

Esercizio Studiare i sistemi dinamici ottenuti dalle hamiltoniane somma di un'energia cinetica (con m>0) e di un potenziale cubico , con a,b,c,d parametri reali.

Suggerimento: Se a=0 si ottiene un sistema dinamico lineare, il cui punto di equilibrio sarà una sella o un centro a seconda dei casi. Se , eseguire una traslazione x=q-w scegliendo la costante w in modo da annullare il termine quadratico; si riduce il potenziale, a meno di una costante, a . A meno di scambiare x con -x si può supporre a>0; perciò l'andamento qualitativo delle curve di livello dipende solo dal segno di k.

Esempio:

Consideriamo la funzione hamiltoniana



che genera le equazioni di Hamilton



Questo esempio è un sistema hamiltoniano ma non un sistema newtoniano, almeno non in queste coordinate. Come si vedrà nella Sezione 5.4, questa hamiltoniana si può ottenere dalla lagrangiana  di un moto vincolato  alla curva nel piano (x,y).

I sistemi hamiltoniani sono conservativi

La principale proprietà che contraddistingue i sistemi dinamici definiti da equazioni di Hamilton è che il relativo flusso integrale  è conservativo :

Teorema di Liouville in due variabili :  Sia H(p,q) una funzione di classe . Se (p(t),q(t)) è la soluzione con condizione iniziale , la trasformazione

conserva l'area, e questo per ogni per cui è definita.

Dimostrazione:

Fissato , sia . La condizione perché sia conservata l'area è che il determinante jacobiano sia identicamente uguale a 1:



Usiamo gli sviluppi di Taylor delle soluzioni





calcolando lo jacobiano



e sfruttando l'eguaglianza delle derivate miste si ottiene:



Descriviamo la propagazione dal tempo 0 al tempo t come il risultato di una sequenza di N propagazioni per intervalli di tempo uguali a . Lo jacobiano della propagazione da 0 a t è il prodotto di N jacobiani, ciascuno della forma , e perciò vale ; il limite per è 1. Lo jacobiano del propagatore da 0 ad t è un numero indipendente da N, quindi per avere limite 1 deve essere è esattamente 1.

 C.D.D.