3. TEORIA QUALITATIVA

Dei sistemi nonlineari, in generale non integrabili, non si possono descrivere esplicitamente le soluzioni. Eppure si desidera conoscere almeno le principali proprietà qualitative delle soluzioni, delle quali le più importanti sono quelle che descrivono il comportamento al limite per $t\to \pm \infty$. Localmente, nell'intorno di un punto di equlibrio, i limiti possono essere determinati sulla base delle proprietà del sistema dinamico lineare che approssima quello dato. Proprietà qualitative globali possono essere ricostruite se si dispone di funzioni che si comportano in modo monotono rispetto al tempo, come le funzioni di Lyapounov, gli integrali primi, i potenziali dei sistemi gradiente. Nel piano si possono definire dei bacini costituiti da condizioni iniziali che hanno come limite un dato punto di equilibrio, che sono delimitati da separatrici. Quando non esistono dei singoli punti che sono limite di una soluzione possono presentarsi dei casi più complicati, come quello delle orbite periodiche. Per i sistemi dinamici nel piano ${\bf R}^2$ i punti di equilibrio e le orbite periodiche hanno un ruolo in tutti i limiti delle soluzioni.