Sommario I sistemi dinamici lineari che si ottengono linearizzando dei sistemi conservativi hanno proprietà speciali, descrivibili in termini di esponenti di Lyapounov. Nel caso proveniente da un sistema newtoniano conservativo, le soluzioni possono essere descritte come sovrapposizione di oscillazioni armoniche.
Un punto di equilibrio di un sistema hamiltoniano è un
punto in cui si annulla il secondo membro, quindi corrisponde ad un
punto stazionario della hamiltoniana:
Il sistema linearizzato nel punto di equilibrio
avrà per matrice , dove C è la matrice hessiana di H,
calcolata nel punto di equilibrio, e J è la matrice che definisce la
struttura simplettica . Le matrici della forma JC, con C
simmetrica, hanno proprietà speciali per quanto concerne gli
autovalori:
per cui se è un autovalore di JC, anche
è
un autovalore, con la stessa molteplicità (e anche lo stesso numero
di blocchi di Jordan della stessa dimensione). Quindi non tutti i
sistemi dinamici lineari possono essere
i linearizzati di sistemi hamiltoniani ;
per esempio pozzi e sorgenti non possono esserlo,
perché per ogni esponente di Lyapounov positivo deve
essercene anche uno negativo, e viceversa.
Poiché l'equazione caratteristica di JC ha comunque
coefficienti reali, gli autovalori sono reali o accoppiati in complessi
coniugati; perciò o formano coppie reali, oppure
coppie immaginarie pure
, oppure quaterne
complesse
. Il solo caso in cui il punto di equilibrio
del sistema linearizzato può essere stabile è quello in cui gli
autovalori sono tutti immaginari puri; questa però è una
condizione necessaria ma non sufficiente per la stabilità del punto
di equilibrio.
Si possono classificare i sistemi linearizzati di sistemi hamiltoniani usando la forma canonica di Jordan reale della matrice JC del linearizzato; si veda [Arnold 86], Appendice 6.
Teorema di stabilità del minimo :
Se il punto stazionario della hamiltoniana H(P,Q)
è un punto di minimo locale forte , allora è un punto di
equilibrio stabile .
Dimostrazione:
Usando la stessa funzione F(P,Q) usata in questa
dimostrazione, si mostra che un punto di equilibrio di un sistema
hamiltoniano non può essere in nessun caso asintoticamente stabile;
infatti, poiché , il valore di F(P(t),Q(t)) non può
avere per limite
, come accade per le orbite del bacino
di attrazione, a meno che non sia uguale
al valore f sin dalla condizione iniziale.
Per il teorema di esistenza delle curve eccezionali in
dimensione 2, e per i teoremi analoghi in dimensione superiore, si può
dimostrare che ogni volta che JC ha un esponente di Lyapounov , non solo il sistema linearizzato, ma anche il sistema nonlineare
di Hamilton ha un punto di equilibrio instabile .
Restano però due problemi aperti, nel senso che la risposta non è stata trovata neppure dalla ricerca matematica recente:
Consideriamo un sistema conservativo del tipo che proviene da un sistema newtoniano ; usando la formulazione lagrangiana, la funzione lagrangiana sarà del tipo
dove B=B(Q) è una matrice definita positiva (quindi invertibile)
di tipo ; le equazioni di Lagrange sono:
Per mettere in evidenza i punti di equilibrio, riscriviamo le
equazioni di Lagrange come sistema dinamico in :
Il secondo membro si annulla solo per e per quei
tali che
.
Il corrispondente sistema linearizzato in è
dove la matrice B si intende calcolata in , ed
è la hessiana di V(Q) calcolata in
; supponiamo che
V(Q) sia di classe
, in modo che A sia simmetrica. Il sistema
linearizzato è a sua volta lagrangiano, con lagrangiana
quadratica
che coincide con il polinomio di Taylor di ordine due
(nel punto ) della lagrangiana completa.
Ci poniamo il problema di semplificare il sistema linearizzato,
ricorrendo ad un cambiamento di coordinate. Poiché le matrici
ed A sono simmetriche, e
e definita positiva, per
il teorema di diagonalizzazione simultanea esiste una
matrice invertibile R che le diagonalizza entrambe, quindi
diagonalizza il loro prodotto:
Trasformando direttamente le equazioni di Lagrange (nella forma
risolta rispetto alle derivate seconde) con il cambiamento di
coordinate , si ottiene
allora nelle coordinate le equazioni di
Lagrange diventano
che corrispondono ad un sistema di oscillatori lineari disaccoppiati,
studiabili indipendentemente l'uno dall'altro.
Se, per un certo j, , allora
è un oscillatore lineare corrispondente a una sella , con
soluzioni esprimibili in termini di esponenziali, con esponenti
(dove
è
l'esponente di Lyapounov )
con costanti di integrazione
. Il
sistema linearizzato non è stabile (e neppure quello nonlineare);
tuttavia il sistema linearizzato è ``integrabile'', nel senso che si
possono scrivere le soluzioni, anche se non formano varietà
invarianti compatte.
Se, per un certo j, si ha ,
allora
è un oscillatore armonico , quindi le soluzioni contengono
funzioni trigonometriche nella frequenza propria
:
con costanti di integrazione che si possono
calcolare in funzione della condizione iniziale. Ciascuna di
queste soluzioni è un'oscillazione propria , che si svolge nel piano
delle fasi
indipendentemente dalle altre. La
soluzione nelle coordinate
sarà esprimibile come una
combinazione lineare di oscillazioni proprie:
dove i coefficienti dipendono dalle costanti di integrazione
e dalla matrice di rotazione R. In altre parole nelle
variabili Q le oscillazioni sono accoppiate, ma la forma più
semplice è ottenibile passando alle variabili ``proprie'', legate
alla diagonalizzazione dell'equazione.
Se tutti gli autovalori sono positivi, cioè se il
punto
è un minimo locale non degenere per l'energia potenziale
V, allora il sistema si riduce ad un prodotto diretto di oscillatori
armonici. Questo caso rientra nel teorema di Arnold-Jost ,
poiché le costanti di integrazione
sono integrali primi
in commutazione , e ogni insieme di livello con le costanti
tutte >0 è un toro, sul quale il moto è un
flusso di Kronecker avente come frequenze le frequenze proprie
. Naturalmente, nel caso di un sistema linearizzato si possono
scrivere direttamente le soluzioni senza passare attraverso le
complicazioni della dimostrazione del teorema di Arnold-Jost.
Figure 7.12: A sinistra, figura di Lissajous con rapporto
di frequenze 5/2; a destra, il rapporto delle
frequenze è irrazionale (exp(1)) e la curva non si ripete mai; alla
lunga ``riempirebbe'' la corona circolare.
Nello spazio delle variabili originarie, in cui le oscillazioni sono
accoppiate, le soluzioni disegnano delle traiettorie complicate, la
cui forma dipende dai rapporti tra le frequenze proprie. Per esempio
per n=2 nel piano delle variabili le traiettorie sono
delle figure di Lissajous (Figura 7.12), che sono
curve chiuse (ma non semplici) se
è razionale. Per
rapporti di frequenze irrazionali, la traiettoria passa
``dappertutto'', in un senso che è precisato dal seguente teorema.
Teorema del ritorno :
Dato un flusso di Kronecker sul toro bidimensionale ,
con coordinate angolo
:
con rapporto delle frequenze irrazionale, allora ogni
orbita passa arbitrariamente vicina ad ogni punto del toro.
Dimostrazione:
come una trasformazione del toro in sé, che conserva
l'area; perciò dato un intorno D arbitrariamente piccolo del
punto iniziale
, le immagini
hanno
tutte la stessa area Area(D). Allora esiste un intero k>0 tale
che
non è vuoto, altrimenti l'unione disgiunta
degli
per ogni k avrebbe area più grande di
. Poiché il flusso integrale è continuo, e
l'orbita per
non è periodica, ne
segue che l'orbita ripassa arbitrariamente vicina alla condizione
iniziale per un certo t=kh>0.
Scegliendo h in modo che sia in rapporto irrazionale
con
, il punto di ritorno ha la coordinata
diversa da quella iniziale, ma arbitrariamente vicina ad essa, diciamo
. Allora per tempi t=mkh, con m intero,
l'orbita passa da
, quindi passa infinite
volte da valori principali che distano meno di
da un
qualunque valore in
. Se anche
è in rapporto
irrazionale con
, lo stesso si verifica sull'asse
,
e poiché in ogni intervallo dei valori principali di
si trovano
infiniti punti della forma
, tra questi
ce ne saranno in ogni intervallo di ampiezza
dei valori
principali di
.
Il teorema precedente si applica quindi ad ogni sistema
hamiltoniano integrabile a due gradi di libertà; in effetti
lo stesso teorema vale anche per un numero qualsiasi di gradi di
libertà. Nel caso dei sistemi linearizzati con due gradi di libertà,
se ci sono due frequenze proprie in rapporto
irrazionale, allora i valori principali delle fasi delle oscillazioni
passano arbitrariamente vicino ad ogni
punto del quadrato
, e quindi le variabili
proprie
passano arbitrariamente vicino ad ogni punto della
corona circolare
come si vede in Figura 7.12.
Esempio:
Usiamo come coordinate lagrangiane le due variabili angolo
che esprimono l'angolo tra la verticale (asse delle
y negative) e le aste di ciascuno dei due pendoli; allora, come
già calcolato nella Sezione 6.3, la
lagrangiana è:
con energia potenziale
I punti stazionari di V, che soddisfano ,
fornisvono quattro punti di equilibrio distinti:
. Il minimo è ovviamente quello
corrispondente alla configurazione con i due pendoli verso il basso:
calcolando la parte quadratica della lagrangiana in
si ricava
Indicando con il rapporto tra le due masse, la
soluzione del problema linearizzato si ottiene trovando gli
autovalori della matrice diagonalizzabile
che ha determinante e traccia maggiori di zero (come già noto,
trattandosi di un minimo). Le radici quadrate degli autovalori
forniscono le frequenze proprie. Si noti però che le oscillazioni
dei due pendoli sono accoppiate, poiché la matrice non
è diagonale: non è perciò possibile mettere in oscillazione
uno dei due pendoli, senza che l'oscillazione si propaghi all'altro.
Per esempio, se i due pendoli sono uguali:
,
allora
dove sarebbe la frequenza di uno solo di questi pendoli.
Negli altri punti di equilibrio l'energia potenziale, e quindi anche
l'energia totale (e la hamiltoniana) non ha dei minimi locali. La
linearizzazione si esegue nello stesso modo: cambiano solo alcuni segni
(sia in B che in A), e la presenza di uno o due autovalori negativi di
giustifica l'instabilità dei punti di equilibrio.
Abbiamo già notato che le coordinate lagrangiane
non parametrizzano in modo regolare il toro delle
configurazioni, precisamente nei punti in cui
.
Poiché però queste singolarità del sistema di coordinate sono
singolarità isolate , le
conclusioni che abbiamo tratte dai calcoli svolti in queste coordinate
sono legittime.
Problema
Consideriamo due pendoli semplici, della stessa lunghezza e
con la stessa massa m, accoppiati da una
molla. Nell'approssimazione lineare la lagrangiana, in funzione
degli angoli
dei due pendoli rispetto alla
verticale, sarà:
Calcolare esplicitamente la soluzione con condizioni iniziali